Risoluzione integrale per sostituzione

[cri981]

$ int_(1)^(4) 1/(sqrt(x)(sqrt(x+2))^3 ) dx $

sostituisco:
$ y=sqrt(x) $ che diventa $ y=x^2 $ $ dy= 2x dx $

$ int_(1)^(4) (2y)/(sqrt(y^2)(sqrt(y^2)+2)^3) dy $

porto fuori dal integrale le costanti:
$ 2int_(1)^(4) (y)/(y(y+2)^3)dy $

$ 2int_(1)^(4) (1)/((y+2)^3)dy $

quale è la primitiva di questo integrale?

[anto_zoolander]

non ho ben capito come passi da $sqrt(x+2)$ a $sqrt(y^2)+2$

[cri981]

c'è qualche errore
allora:
sostituisco:
y= $ sqrt(x) $ trovo $ x=y^2 $

$dx=2ydy $

[cri981]

l'integrale di partenza è $ int_(1)^(4) 1/(sqrt(x)(sqrt(x)+2 ) ) dx $

[anto_zoolander]

ah... ora cambiano molte cose! così è un integrale immediato! fai la derivata di $2log(sqrt(x+2))$

e poi guarda se nell'integrale trovi qualcosa del tipo $int(f'(x))/(f(x))dx=log|f(x)|$

[cri981]

scusami anto_zoolander ho dimenticato di elevare ( $ (sqrt(x) +2)^3 $

[pilloeffe]

Ciao cri98,

Ah beh, in tal caso la storia cambia ancora...
Porrei $y := sqrt{x} + 2 \implies dy = frac{dx}{2 sqrt{x}}$ per cui si ha:

$ int 1/(sqrt(x)(sqrt(x)+2 )^3 ) dx = 2 int frac{dy}{y^3} = - frac{1}{y^2} + c = - frac{1}{(sqrt{x} + 2)^2} + c $

[anto_zoolander]

Sperando che non diventi qualcos'altro.

[cri981]

c'è qualcosa che non mi torna:

se io parto dall'integrale di:
$ int_(1)^(4) 1/((y-2)(y)^3) dx $ $ int_(1)^(4) 1/((y-2)(y)^3) dy $
e sostituisco con:
$ y=sqrt(x) +2 $

ottengo:
$dy=1/(2sqrt(x) ) $

[cri981]

scusate l'ultimo messaggio è sbagliato

[cri981]

c'è qualcosa che non mi torna:
$ int_(1)^(4) 1/(sqrt(x)(sqrt(x+2) ) dx $

sostituisco con:
$ y=sqrt(x) +2 $
$ dy=1/(2sqrt(x) ) dx $

ottengo:
$ int_(1)^(4) 1/(y-2(y)^3 ) dy $
come faccio ad ottenere

$ 2int_(1)^(4) dy/y^3 $ ?

grazie e scusate per tutte queste imprecisioni (non sono molto pratico nella scrittura)

[cri981]

ho dimenticato di elevare al cubo e di mettere sotto radice solo la x

[pilloeffe]

Scusa cri98,

A parte che se hai sbagliato un messaggio e lo cancelli nessuno si offende, cos'è che non ti è chiaro?
Tornando al mio post precedente è evidente che con la posizione $y :=sqrt{x} + 2 $ effettuata si ha $ 2 dy = frac{dx}{sqrt{x}} $ per cui andando a sostituire nell'integrale si ottiene proprio quanto ho già scritto:

$ int 1/(sqrt(x)(sqrt(x)+2 )^3 ) dx = - frac{1}{(sqrt{x} + 2)^2} + c $

Il motivo per il quale in questi casi in genere preferisco risolvere prima l'integrale indefinito è che se poi per caso cambiano gli estremi tocca di ricalcolare l'integrale dall'inizio. Invece una volta calcolato l'integrale indefinito è molto semplice determinare il definito.
Infatti nel caso in esame si ha:

$ int_1^4 1/(sqrt(x)(sqrt(x)+2 )^3 ) dx = [- frac{1}{(sqrt{x} + 2)^2}]_1^4 = - 1/16 + 1/9 = 7/144 $