Risoluzione integrale passo passo con commenti

[commuty]

(12-x^2)^1/2 risoluzione integrale indefinito da radice di 3 a 2 per radice di 3. passo passo. Grazie

[mc2]

Innanzi tutto una precisazione: questo e` un integrale DEFINITO.


Facciamo un cambio di variabile:

[math]x=2\sqrt{3}\sin t[/math]

per cui

[math]dx=2\sqrt{3}\cos t\,dt[/math]

[math]\sqrt{12-x^2}=\sqrt{12-12\sin^2 t}=2\sqrt{3}\cos t[/math]

Calcoliamo i nuovi estremi di integrazione:

[math]x=\sqrt{3}[/math]

diventa

[math]2\sqrt{3}\sin t=\sqrt{3}[/math]

cioe`

[math]\sin t=\frac{1}{2}[/math]

e

[math]t=\frac{\pi}{6}[/math]

[math]x=2\sqrt{3}[/math]

diventa

[math]2\sqrt{3}\sin t=2\sqrt{3}[/math]

cioe`

[math]\sin t=1[/math]

e

[math]t=\frac{\pi}{2}[/math]

[math]\int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}}\sqrt{12-x^2}dx=
\int_{\pi/6}^{\pi/2}2\sqrt{3}\cos t \cdot 2\sqrt{3}\cos t\,dt=
[/math]

[math]12\int_{\pi/6}^{\pi/2}\cos^2 t\,dt=6\int_{\pi/6}^{\pi/2}(1+\cos 2t)\,dt=[/math]

[math]6\left[t+\frac{1}{2}\sin 2t\right]_{\pi/6}^{\pi/2}=
6\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}+\frac{\sin\pi-\sin(\pi/3)}{2}\right)=
[/math]

[math]=6\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=2\pi-\frac{2\sqrt{3}}{2}[/math]