Risoluzione integrale metodo coo. polari

[mazzy89-votailprof]

calcolare il seguente integrale doppio:

$int int_D x/(x^2+y^2)dxdy$

con $D={(x,y) in RR^2:$ $x>=0,y<=sqrt2x^2,2/9<=x^2+y^2<=1}$

decido di risolvere l'integrale applicando le coordinate polari:

$int int_(phi^(-1)(T)) (costheta)d*thetadrho$

dove $phi^(-1)(T)={(rho,theta): pi/4<=theta<=pi/2,sqrt2/3<=rho<=1}$

ottenuto dalle sostituzioni effettuate sugl'intervalli:

$x>=0 => cos(theta)>=0 => 0<=theta<=pi/2$

$y<=sqrt2x^2 => sin(theta)<=sqrt(2)cos^2(theta) => sin(theta)<=sqrt2/2 => pi/4<=theta<=(3pi)/4$

$2/9<=x^2+y^2<=1 => sqrt2/3<=rho<=1$


ora mi domando se le sostituzioni e i passaggi da me effettuate siano giuste

[gugo82]

"mazzy89":
$y<=sqrt2x^2 => sin(theta)<=sqrt(2)cos^2(theta)$

E $rho$ che fine ha fatto?

[Camillo]

[mod="Camillo"]Ho cancellato lo stesso topic messo in Geometria in quanto non è permesso il multiposting.[/mod]

[mazzy89-votailprof]

"Gugo82":[quote="mazzy89"]
$y<=sqrt2x^2 => sin(theta)<=sqrt(2)cos^2(theta)$

E $rho$ che fine ha fatto?[/quote]
giusto.c'hai ragione.
$y<=sqrt2x^2 => rhosin(theta)<=sqrt(2)rho^2cos^2(theta) => sin(theta)<=sqrt2rhocos^2(theta)$

e con questo $rho$ tra i piedi come si risolve?

e giusto il passaggio: $sin(theta)<=sqrt2rho(1-sin^2(theta))$

[mazzy89-votailprof]

qualche aiutino nelle coordinate polari?