Risoluzione integrale irrazionale

[kkz]

$ int (2x-x^2)^(1/2)/x dx = $
$ int (1-(x-1)^2)^(1/2)/x dx $

Sostituisco x-1 = sint

$ int (1-sin^2t)^(1/2)/(sint+1) * cost dt $

$ int (cost)/(sint+1) * cost dt $

Fino a qua credo sia giusto, ma adesso come è meglio andare avanti?

Ho provato a raccogliere cost ma non non mi ha convinto...

grazie mille

[Seneca1]

Se hai fatto i calcoli correttamente (c'è bisogno che controlli?) ottieni:

[tex]$ \int \frac{cos^2(t)}{sin(t)+1} dt = \int \frac{1 - sin^2(t)}{sin(t)+1} dt = \int \frac{(1 - sin(t)) \cdot ( 1 + sin(t))}{1 + sin(t)} dt $[/tex]

[kkz]

Controlla pure, non si sa mai!

Se la parte precedente va bene, continuando con la differenza di quadrati alla fine mi viene $ arcsin(x-1) + cos(arcsin(x-1)) $

[Seneca1]

Il vantaggio degli integrali indefiniti è che, arrivato in fondo, per controllare il risultato basta calcolare una derivata.

Comunque sì, mi sembra corretto.

P.S.: Tu hai scritto una primitiva. Per essere precisi dovresti aggiungerci la costante di integrazione.

[ciampax]

Una osservazione: visto che [tex]$\sin t=x-1$[/tex] sarebbe più furbo scrivere [tex]$\cos t=\sqrt{1-\sin^2 t}=\sqrt{1-(x-1)^2}=\sqrt{2x-x^2}$[/tex], e quindi la soluzione [tex]$\arcsin(x-1)+\sqrt{2x-x^2}+c$[/tex]

[kkz]

"Seneca": P.S.: Tu hai scritto una primitiva. Per essere precisi dovresti aggiungerci la costante di integrazione.

Hai ragionissima, grazie!
$ arcsin(x-1) + cos(arcsin(x-1)) +C $

[Seneca1]

Figurati.

Per inciso: io stesso spesso non la metto.