Risoluzione Integrale indefinito tramite sostituzione
Ri-Salve! 
In pratica ho il seguente integrale : $ int sqrt(5+x^2)dx $
Tramite sostituzione , ponendo $ x = sqrt(5)sinh(t) $ , mi ritrovo a tale soluzione :
$ 5/2 (t+sinh(t)*cosh(t))+c $ ,
sostituendo , ponendo $ t = sinh^-1(x/sqrt(5)) $ , ho :
$ 5/2(sinh^-1(x/sqrt(5)) + (x/sqrt(5))cosh(sinh^-1(x/sqrt(5))) +c $
Il problema sorge quando devo "sciogliere" la forma : $cosh(sinh^-1(x/sqrt(5)))$.
Come fare?
Ho provato a svolgere tramite Identità fondamentale $sinh^2 (x) + cosh^2(x) = 1$ , ma senza successo...
Grazie in anticipo.
In pratica ho il seguente integrale : $ int sqrt(5+x^2)dx $
Tramite sostituzione , ponendo $ x = sqrt(5)sinh(t) $ , mi ritrovo a tale soluzione :
$ 5/2 (t+sinh(t)*cosh(t))+c $ ,
sostituendo , ponendo $ t = sinh^-1(x/sqrt(5)) $ , ho :
$ 5/2(sinh^-1(x/sqrt(5)) + (x/sqrt(5))cosh(sinh^-1(x/sqrt(5))) +c $
Il problema sorge quando devo "sciogliere" la forma : $cosh(sinh^-1(x/sqrt(5)))$.
Come fare?
Ho provato a svolgere tramite Identità fondamentale $sinh^2 (x) + cosh^2(x) = 1$ , ma senza successo...
Grazie in anticipo.
Risposte
La relazione fondamentale è $cosh^2(y)-sinh^2(y)=1$.
Quindi , posto $y= sinh^-1(x/sqrt5)$, abbiamo $cosh(y)=$
$= sqrt{1+sinh^2(y)}= sqrt{1+sinh^2 (sinh^-1(x/sqrt5))}= sqrt{1+(x/sqrt5)^2}= sqrt((5+x^2)/5)= 1/sqrt5 *sqrt(x^2+5)$
Quindi , posto $y= sinh^-1(x/sqrt5)$, abbiamo $cosh(y)=$
$= sqrt{1+sinh^2(y)}= sqrt{1+sinh^2 (sinh^-1(x/sqrt5))}= sqrt{1+(x/sqrt5)^2}= sqrt((5+x^2)/5)= 1/sqrt5 *sqrt(x^2+5)$
Perfetto, che erroraccio ho fatto... 
Gi8 , ti ringrazio anche qui, celere come Mercurio!
Si può chiudere anche questo thread , grazie ancora ragazzi!
Gi8 , ti ringrazio anche qui, celere come Mercurio!
Si può chiudere anche questo thread , grazie ancora ragazzi!
Prego, figurati. Ti consiglio però di ricominciare, facendo la sostituzione $y= 1/sqrt5 x$.
In questo modo non ti devi portare dietro il fastidioso $sqrt5$.
Con questa sostituzione hai $int sqrt(x^2+5) dx = 5 int sqrt(1+y^2) dy$
In questo modo non ti devi portare dietro il fastidioso $sqrt5$.
Con questa sostituzione hai $int sqrt(x^2+5) dx = 5 int sqrt(1+y^2) dy$
Si , anche così è fattibile, il problema è che il professore ci ha dato delle sostituzioni da applicare nei casi in cui ci troviamo un determinato integrale...
Ora ho un altro problema con questo esercizio : $ int sqrt(-x^2 -x +1) dx $ ,
ottenendo la differenza di quadrati $ 1/4 [5 -(2x+1)^2] $ sostituisco con $z=2x+1$ e $dz = 2dx$.
Mi ritrovo : $int 1/8[sqrt(5 - z^2)] dz$ .
Il problema è che non mi trovo col risultato , che il libro riporta essere come : $1/8 [5arcsin(z/sqrt(5)) + zsqrt(5-(z^2))]+c$
Ho provato a smanettare tentando di arrivare all'arcsin ma non sono riuscito...
Potreste propormi un metodo di risoluzione? Grazie in anticipo.
Ora ho un altro problema con questo esercizio : $ int sqrt(-x^2 -x +1) dx $ ,
ottenendo la differenza di quadrati $ 1/4 [5 -(2x+1)^2] $ sostituisco con $z=2x+1$ e $dz = 2dx$.
Mi ritrovo : $int 1/8[sqrt(5 - z^2)] dz$ .
Il problema è che non mi trovo col risultato , che il libro riporta essere come : $1/8 [5arcsin(z/sqrt(5)) + zsqrt(5-(z^2))]+c$
Ho provato a smanettare tentando di arrivare all'arcsin ma non sono riuscito...
Potreste propormi un metodo di risoluzione? Grazie in anticipo.
Sostituisci $z=5\sin t$.
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