Risoluzione Integrale Indefinito

[Bacchinif]

Salve, sto avendo delle difficoltà nella risoluzione del seguente integrale indefinito e suoi simili.
$ \int(x^3-16x^2-39x+74)/(x^4+4x^3-7x^2-22x+24)dx $
Se non erro questo dovrebbe essere un integrale del tipo :
$ \int(p(x))/(q(x)) $
dove $ q(x) Riesco, di norma, a risolvere integrali del tipo :
$ \int(p(x))/(q(x)) $ , dove $ p(x)=1°Grado $ o $ p(x)=k $ e $ q(x)=2°Grado $, in quanto li risolvo avvalendomi del "metodo delle costanti", trovando, cioè, al massimo due costanti da sostituire in un integrale riscritto e generalmente riconducibile all'integrale noto del logaritmo.
Ad esempio :
$ \int(3x+4)/(x^2+3x+2)dx=log|x+1|+2log|x+2| $
dato che posso scrivere :
$ (3x+4)/(x^2+3x+2)=[(3x+4)/((x+1)(x+2))]=[(c_1)/((x+1))+(c_2)/((x+2))] $
trovo le costanti ed il gioco è fatto, in quanto ho ricondotto i miei due integrali a due integrali noti.

Ora, quello che farei nel caso che non so risolvere è una operazione più o meno simile. Ho provato a fattorizzare il polinomio che si trova al denominatore tramite la regola di Ruffini, trovando così radici e molteplicità delle stesse. Ho, così, riscritto tale polinomio ed ho provato a calcolare le varie costanti necessarie.
Il problema è che con questo metodo i calcoli risultano molto lunghi macchinosi, ed è molto facile commettere errori.
C'è una scorciatoia lecita e più breve ?

Grazie in anticipo.

[Epimenide93]

Puoi calcolare i coefficienti "in itinere" (man mano cioè che scrivi il polinomio al denominatore come prodotto di irriducibili) ripercorrendo la dimostrazione del teorema che "giustifica" il metodo da te applicato (si tratta infatti di una dimostrazione costruttiva). Per polinomi di grado basso o con radici di molteplicità $>1$ di solito non lo si fa perché il "metodo delle costanti" è più veloce, ma per polinomi generici è più conveniente applicare direttamente il teorema. Al momento non ho il tempo di spiegare estesamente qui come fare, puoi trovare la dimostrazione di cui parlo ad esempio su Prodi - Analisi Matematica pp. 326-9, ma penso sia su molti libri di Analisi; se non riesci a trovarla sui testi che hai o se hai bisogno di qualche chiarimento appena ho un attimo di tempo provo a spiegarti per sommi capi come funziona.

Saluti!

[ciampax]

In realtà c'è anche un altro metodo, a metà tra quello di uguagliare i coefficienti delle potenze uguali nei due polinomi (identità polinomiale) e quello descritto da TeM. Si tratta di analizzare le singole radici del polinomio fattorizzato e scrivere una successione di identità andando a sostituire, di volta in volta, tali radici per determinare i coefficienti. Mi spiego direttamente con un esempio relativo a questo caso, che facciamo prima. Il denominatore si fattorizza come
$$(x-1)(x-2)(x+3)(x+4)$$
per cui cerchi una decomposizione del tipo
$$\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2}+\frac{c}{x+3}+\frac{d}{x+4}$$
Ora, calcolando il denominatore comune di questa somma e sommando, il numeratore deve coincidere con quello del polinomio a numeratore nell'integrale: pertanto si ha l'identità, valida per ogni $x$
$$a(x-2)(x+3)(x+4)+b(x-1)(x+3)(x+4)+c(x-1)(x-2)(x+4)+d(x-1)(x-2)(x+3)=x^3-16x^2-39x+74$$
A questo punto, puoi osservare che, sostituendo a $x$, di volta in volta, le radici del polinomio a denominatore, in ogni occasione sopravvive solo una delle costanti (questo è una caso particolarmente fortunato, ma in generale non succede sempre), per cui sostituendo, ad esempio, $x=1$ si ha $-20a=20$ e quindi $a=-1$.

In generale, potresti ritrovarti in situazioni più complesse, ad esempio con un denominatore simile: $(x^2+4)(x-1)^2$ per il quale la decomposizione in fratti è del tipo
$$\frac{ax+b}{x^2+4}+\frac{c}{x-1}+\frac{d}{(x-1)^2}$$
Supponendo che $F(x)$ sia il polinomio a numeratore dell'integrale di partenza, avresti l'identità
$$(x-1)^2(ax+b)+(x^2+4)[c(x-1)+d]=F(x)$$
In questo frangente, l'unica radice accettabile è $x=1$, da cui ricavi l'identità $5d=F(1)$ per calcolare $d$. Tuttavia, anche i valori $x=\pm2i$ permettono di scrivere delle equazioni utili, nella forma
$$(\pm2i-1)^2(\pm 2i a+b)=F(\pm 2i)$$
dalle quali, sommando e sottraendo membro a membro, puoi ricavare i valori di $a, b$. Infine, la sostituzione di $x=0$ ti permette di scrivere
$$b+4(d-c)=F(0)$$
dalla quale, noti $b, d$, puoi ricavare $c$.