Risoluzione integrale fratto

[giupar93]

Ciao a tutti ragazzi, ho questo integrale:

$ int (x^3)/(x^2+4x+3) dx $

per risolverlo ho fatto i seguenti passaggi:

1. essendo il grado del numeratore maggiore rispetto al denominatore, ho provveduto a fare la divisione di polinomi, potendo riscrivere l'integrale in questo modo: $ int x-4+(13x+12)/(x^2+4x+3) dx $

2. fattorizzo il denominatore facendolo diventare così: $ (x+2)^2-1 $

3. scrivo $ (13x+12)/(x^2+4x+3) = A/((x+2)-1)+B/((x+2)^2-1) $ risolvendo il sistema troverò che $A = 13,B=-14$

4. in virtù dei passi precedenti posso scrivere che :

$ int x-4+(13x+12)/(x^2+4x+3) dx = intxdx-4intdx+13int1/(x+1)-14int1/((x+2)^2-1) $

che sono tutti integrali tranne l'ultimo che non riesco a riconoscere.. avrò sbagliato qualcosa?

Spero di essere stato chiaro, una buona giornata a tutti e grazie anticipatamente!

[Raptorista1]

Perché questo giro? Il denominatore ha due radici reali, scomponilo usando quelle!

[giupar93]

hai perfettamente ragione.. il terzo punto l'ho riscritto così:

$ (13x+12)/(x^2+4x+3) = A/((x+3))+B/((x+1)) $ con rispettivamente $A=-1/2 B=-25/2$

di cui una primitiva è:

$ x^2/2-4x-1/2ln|x+3|-25/2ln|x+1|+c $ corretto?

Grazie

[Raptorista1]

Il procedimento è corretto, i calcoli li puoi verificare da solo!

[giupar93]

grazie mille!