Risoluzione integrale fratto
Ciao a tutti, ho un problema con lo svolgimento di questo integrale: $ int_(0)^(2) dx/(sqrt(x^2+4)+2 $
Vado a fare una sostituzione iperbolica, cioè:
$ x=2sinh(t) $ e $ dx=2cosh(t) $. ottengo quindi (dopo un paio di semplici passaggi):
$ int cosh(t)/(cosh(t)+1) dt $
Ora vado a sostituire al coseno iperbolico il suo valore e ottengo:
$ int (e^(2t)+1)/(e^(2t)+e^t+1) dt $
Ora sostituisco $ e^x=y $ e ottengo:
$ int (y^2+1)/(y^2+y+1) (dy)/y $
Scompongo in fratti semplici e otttengo:
$ int 1/y - int(1)/(y^2+y+1) dx $
Ora il primo è un logaritmo. Mentre il secondo come lo tratto?
Grazie mille
Vado a fare una sostituzione iperbolica, cioè:
$ x=2sinh(t) $ e $ dx=2cosh(t) $. ottengo quindi (dopo un paio di semplici passaggi):
$ int cosh(t)/(cosh(t)+1) dt $
Ora vado a sostituire al coseno iperbolico il suo valore e ottengo:
$ int (e^(2t)+1)/(e^(2t)+e^t+1) dt $
Ora sostituisco $ e^x=y $ e ottengo:
$ int (y^2+1)/(y^2+y+1) (dy)/y $
Scompongo in fratti semplici e otttengo:
$ int 1/y - int(1)/(y^2+y+1) dx $
Ora il primo è un logaritmo. Mentre il secondo come lo tratto?
Grazie mille
Risposte
$1/(y^2+y+1)=4/((2y+1)^2+3)=4/3 1/(1+((2y+1)/sqrt(3))^2)$
e ti riconduci ad un integrale del tipo $int1/(1+x^2)dx=arctanx+c$
e ti riconduci ad un integrale del tipo $int1/(1+x^2)dx=arctanx+c$
Però qualcosa non va.. il risultato che ho è diverso.. mi sa che ho sbagliato qualcosa nei primi calcoli...
non so...io sono un ragioniere, mi sono laureato in economia (25 anni fa) e di mestiere faccio il contabile .....quindi non faccio testo...però questo integrale io lo uccido così, senza alcuna sostituzione
$int1/(sqrt(x^2+4)+2)dx=int(sqrt(x^2+4)-2)/x^2 dx=2/x+intsqrt(x^2+4)/x^2 dx$
$intsqrt(x^2+4)/x^2 dx=-int-1/x^2sqrt(x^2+4)dx=-[1/xsqrt(x^2+4)-int1/x x/sqrt(x^2+4)dx]$
$int1/sqrt(x^2+4)dx=int1/sqrt(x^2+4)(x+sqrt(x^2+4))/(x+sqrt(x^2+4))dx=int(1+x/sqrt(x^2+4))/(x+sqrt(x^2+4))dx=log|x+sqrt(x^2+4)|$
riassemblando i pezzi:
$int1/(sqrt(x^2+4)+2)=2/x-1/xsqrt(x^2+4)+log|x+sqrt(x^2+4)|+C$
...e ti assicuro che così è giusto
$int1/(sqrt(x^2+4)+2)dx=int(sqrt(x^2+4)-2)/x^2 dx=2/x+intsqrt(x^2+4)/x^2 dx$
$intsqrt(x^2+4)/x^2 dx=-int-1/x^2sqrt(x^2+4)dx=-[1/xsqrt(x^2+4)-int1/x x/sqrt(x^2+4)dx]$
$int1/sqrt(x^2+4)dx=int1/sqrt(x^2+4)(x+sqrt(x^2+4))/(x+sqrt(x^2+4))dx=int(1+x/sqrt(x^2+4))/(x+sqrt(x^2+4))dx=log|x+sqrt(x^2+4)|$
riassemblando i pezzi:
$int1/(sqrt(x^2+4)+2)=2/x-1/xsqrt(x^2+4)+log|x+sqrt(x^2+4)|+C$
...e ti assicuro che così è giusto
La risoluzione proposta da tommik è la migliore e la più veloce. Se però vogliamo per forza giocare con le iperboliche:
\[ \int \frac{ \cosh(t)}{1 + \cosh(t)} dt = \int \left ( 1 - \frac{1}{1 + \cosh(t)} \right ) dt = t - \int \frac{1}{1 + \cosh(t)} dt \]
Utilizzando, come hai tentato di fare tu, la definizione di coseno iperbolico, otteniamo:
\[ \int \frac{1}{1 + \cosh(t)} dt = \int \frac{2 e^t}{e^{2t} + 2 e^t + 1} dt = 2 \int \frac{ 1}{\left (e^t + 1 \right)^2} d \left (e^t \right ) = - \frac{2}{e^t + 1} + c \]
Risostituendo, tenendo conto che
\[ t = arsinh \left (\frac{x}{2} \right ) \]
e che
\[ arsinh(\lambda) = \ln \left ( \lambda + \sqrt{ \lambda^2 + 1 } \right ) \]
dovresti essere in grado di arrivare al risultato corretto
\[ \int \frac{ \cosh(t)}{1 + \cosh(t)} dt = \int \left ( 1 - \frac{1}{1 + \cosh(t)} \right ) dt = t - \int \frac{1}{1 + \cosh(t)} dt \]
Utilizzando, come hai tentato di fare tu, la definizione di coseno iperbolico, otteniamo:
\[ \int \frac{1}{1 + \cosh(t)} dt = \int \frac{2 e^t}{e^{2t} + 2 e^t + 1} dt = 2 \int \frac{ 1}{\left (e^t + 1 \right)^2} d \left (e^t \right ) = - \frac{2}{e^t + 1} + c \]
Risostituendo, tenendo conto che
\[ t = arsinh \left (\frac{x}{2} \right ) \]
e che
\[ arsinh(\lambda) = \ln \left ( \lambda + \sqrt{ \lambda^2 + 1 } \right ) \]
dovresti essere in grado di arrivare al risultato corretto
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