Risoluzione integrale doppio

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31 ago 2010, 12:44

Ciao ragazzi mi servirebbe una dritta sulla risoluzione di questo integrale doppio:

$ int int_(E) (2y^2) / (sqrt( 8x + y^2 )) dx dy $

dove l’insieme E e' costituito dal trapezio di vertici (0, 0), (2, 0), (1, 1), (0, 1).

Allora ecco come l'ho svolto:

Il trapezio lo spezzo in un quadrato (D1) e in un triangolo (D2, x-semplice)

quindi:

$ int_(0)^(1) int_(0)^(1) $ $ (2y^2) / (sqrt( 8x + y^2 )) dx dy $ $ + $ $int_(0)^(1) int_(1)^(-y+2) $$ (2y^2) / (sqrt( 8x + y^2 )) dx dy $

Svolgo l'integrale in dx abbastanza semplice e ottengo

$int_(0)^(1) $ $(y^2/2) [sqrt(8+y^2) - sqrt(y^2) + sqrt((y-4)^2) - sqrt(8+y^2)] dy$

Fortunatamente i due $sqrt(8+y^2)$ si annullano fra loro, rimane:

$int_(0)^(1) $$ (y^2/2) [- y + y - 4 ] $

Le y si annullano quindi mi rimane:

$int_(0)^(1) $$ (y^2/2) [- 4] $

$int_(0)^(1) $$ -2y^2 $

Risultato: $-2/3$

Il risultato sarebbe invece 5/12 , vi prego ditemi dove sbaglio...magari qualche raccoglimento sbagliato non saprei

Grazie mille
saluti !

Risposte

gugo82

31 ago 2010, 10:48

Posta il procedimento, così vediamo dove sta l'errore...

Zkeggia

31 ago 2010, 10:50

L'integrale in dx è facile, è un integrale del tipo $int(a+x)^(-1/2) dx$, perché fai sostituzioni?

Edit: eh vabbè, ma Gugo mi brucia sempre sul tempo!