Risoluzione integrale di una forma chiusa
Anche qui, grosso dubbio.
Esercizio d'esame.
Calcolare l'integrale curvilineo
$ int_(gamma ) xy^2dx+(x^2y-1)dy $
essendo $gamma$ la poligonale chiusa di vertici $O=(0,0), P=(1,0),Q=(0,1)$ percorsa in senso antiorario.
Dunque, l'integrale curvilineo è dato dalla somma
$ int_(gamma) omega =int_(OP) omega + int_(PQ) omega - int_(QO) omega $
Parametrizzazione dei segmenti che compongono il triangolo sono
$ OP { ( x=t ),( y=0 ):} t € [0,1] $
$ PQ { ( x=1-t ),( y=t ):} t € [0,1] $
$ QO { ( x=0 ),( y=1-t ):} t € [0,1] $
Le cui derivate (vettore velocità) sono
$ OP' { ( x=dt ),( y=0 ):} $
$ PQ' { ( x=-dt ),( y=dt ):} $
$ QO' { ( x=0 ),( y=-dt ):} $
L'integrale curvilineo sarà dato dalla formula
$ int_(gamma) F(x,y)\cdotds$
Calcolo le singole componenti, avrò
$ OP int_(0)^(1) [(t\cdot0^2)dt]+[(t^2\cdot0-1)cdot0]=0 $
$ PQ int_(0)^(1) [(1-t)t^2cdot-dt]+[[(1-t)^2\cdott-1]\cdot0]=0 $
$ QO int_(0)^(1) [(0+(1-t)\cdot-dt]= int_(0)^(1)-(1-t)dt=-1 $
L'integrale totale sarà quindi $=-1$
Ditemi tutti gli errori che ho commesso.
Altra domanda.
In alcune formule per il calcolo dell'integrale curvilineo vedo applicata la formula che ho detto
$ int_(gamma)w= int_(a)^(b) [a[(x(t),y(t))x'(t)]+b[(x(t),y(t)]y'(t)]dt $
altre invece lo vedo espresso come
$ int_(gamma)w= int_(a)^(b) [a[x(t),y(t)]\cdot sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2]dt $
Perchè questa differenza?
Quando va applicata una formula o l'altra?
Grazie in anticipo per la risposta.
Esercizio d'esame.
Calcolare l'integrale curvilineo
$ int_(gamma ) xy^2dx+(x^2y-1)dy $
essendo $gamma$ la poligonale chiusa di vertici $O=(0,0), P=(1,0),Q=(0,1)$ percorsa in senso antiorario.
Dunque, l'integrale curvilineo è dato dalla somma
$ int_(gamma) omega =int_(OP) omega + int_(PQ) omega - int_(QO) omega $
Parametrizzazione dei segmenti che compongono il triangolo sono
$ OP { ( x=t ),( y=0 ):} t € [0,1] $
$ PQ { ( x=1-t ),( y=t ):} t € [0,1] $
$ QO { ( x=0 ),( y=1-t ):} t € [0,1] $
Le cui derivate (vettore velocità) sono
$ OP' { ( x=dt ),( y=0 ):} $
$ PQ' { ( x=-dt ),( y=dt ):} $
$ QO' { ( x=0 ),( y=-dt ):} $
L'integrale curvilineo sarà dato dalla formula
$ int_(gamma) F(x,y)\cdotds$
Calcolo le singole componenti, avrò
$ OP int_(0)^(1) [(t\cdot0^2)dt]+[(t^2\cdot0-1)cdot0]=0 $
$ PQ int_(0)^(1) [(1-t)t^2cdot-dt]+[[(1-t)^2\cdott-1]\cdot0]=0 $
$ QO int_(0)^(1) [(0+(1-t)\cdot-dt]= int_(0)^(1)-(1-t)dt=-1 $
L'integrale totale sarà quindi $=-1$
Ditemi tutti gli errori che ho commesso.
Altra domanda.
In alcune formule per il calcolo dell'integrale curvilineo vedo applicata la formula che ho detto
$ int_(gamma)w= int_(a)^(b) [a[(x(t),y(t))x'(t)]+b[(x(t),y(t)]y'(t)]dt $
altre invece lo vedo espresso come
$ int_(gamma)w= int_(a)^(b) [a[x(t),y(t)]\cdot sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2]dt $
Perchè questa differenza?
Quando va applicata una formula o l'altra?
Grazie in anticipo per la risposta.
Risposte
Sono due cose differenti.
Consideriamo una funzione $f:\Omega\subset\RR^2\to \RR$ continua nell'aperto $\Omega,$ e consideriamo la curva semplice e regolare $\gamma:[a,b]\to \Omega.$ Allora l'integrale curvilineo di prima specie di $f$ lungo $\gamma$ è definito come
\[\int\limits_{\gamma} f \,\,ds:=\int_{a}^{b}f\left(x(t);y(t)\right)\cdot \|\gamma'(t)\|,\]
dove $ ||\gamma'(t)||=\sqrt{ (x'(t))^2;\ (y'(t) )^2}.$
Consideriamo ora una funzione $F:\Omega\subset\RR^2\to \RR^2$ continua nell'aperto $\Omega,$ ossia un campo vettoriale
\[F(x,y)=\left(A(x,y),B(x,y)\right),\]
con componenti $A,B$ continue in $\Omega;$ alla funzione $F$ si associa l'espressione formale
\[\omega:=A(x,y)dx+B(x,y)dy\]
detta forma differenziale. Sia $\gamma $ una curva semplice e regolare
\[\gamma(t)=\left(x(t),y(t)\right),\qquad t\in[a,b];\]
Allora l'integrale curvilineo di seconda specie di $F$ lungo $\gamma$ è definito come
\[\int\limits_{\gamma} \omega =\int\limits_{\gamma}\langle\overrightarrow{ F},d\overrightarrow{\gamma}\rangle :=\int_{a}^{b}\left[A\left(x(t);y(t)\right)\cdot x'(t)+B\left(x(t);y(t)\right)\cdot y'(t)\right]dt.\]
La forma differenziale definita da
\[\omega:= xy^2dx+(x^2y-1)dy,\]
la possiamo scirvere come somma di due forme differenziali:
\[\omega = \underbrace{xy^2dx+ x^2y dy}_{:=\omega_1}-\underbrace{ dy}_{:=\omega_2}.\]
a questo punto la forma $\omega_1$ risulta evidentemente chiusa, pertanto esatta essendo $\RR^2$ semplicemente connesso, pertanto applicando Gauss-Green lungo la curva chiusa $\gamma$ si ottiene
\[\int\limits_{\gamma} xy^2dx+ x^2y dy \stackrel{GG}{=}\iint\limits_{D}\left(\frac{\partial B}{\partial x}-\frac{\partial A}{\partial x}\right) dxdy=\iint\limits_{D}\left(2xy-2xy \right) dxdy=0,\]
pertanto il contributo della forma $\omega_1$ è nullo. In definitva tutto si riduce al calcolo dell'integrale lungo $\gamma$ della forma $\omega_2:$ parametrizzando i lati del triangolo otteniamo:
\begin{align}
\gamma_1(t)=\begin{cases}
x(t)=t\\
y(t)=0
\end{cases}\quad t\in[0,1];\qquad\gamma_2(t)=\begin{cases}
x(t)=t\\
y(t)=1-t
\end{cases}\quad t\in[0,1];\qquad\gamma_3(t)=\begin{cases}
x(t)=0\\
y(t)=1
\end{cases}\quad t\in[0,1],
\end{align}
pertanto
\begin{align}
\int_{\gamma } \omega_2&=\int_{\gamma_1\cup\gamma_2\cup\gamma^-_3} \omega_2 =\int_{\gamma_1 } \omega_2+\int_{\gamma_2} \omega_2-\int_{\gamma_3 } \omega_2\\
&=\int_{t=0}^{1}0\cdot dt+\int_{t=0}^{1}-1 \cdot dt-\int_{t=0}^{1}0\cdot dt=-1.
\end{align}
in definitiva:
\[\int\limits_{\gamma}\omega = 0-(-1)=1.\]
Consideriamo una funzione $f:\Omega\subset\RR^2\to \RR$ continua nell'aperto $\Omega,$ e consideriamo la curva semplice e regolare $\gamma:[a,b]\to \Omega.$ Allora l'integrale curvilineo di prima specie di $f$ lungo $\gamma$ è definito come
\[\int\limits_{\gamma} f \,\,ds:=\int_{a}^{b}f\left(x(t);y(t)\right)\cdot \|\gamma'(t)\|,\]
dove $ ||\gamma'(t)||=\sqrt{ (x'(t))^2;\ (y'(t) )^2}.$
Consideriamo ora una funzione $F:\Omega\subset\RR^2\to \RR^2$ continua nell'aperto $\Omega,$ ossia un campo vettoriale
\[F(x,y)=\left(A(x,y),B(x,y)\right),\]
con componenti $A,B$ continue in $\Omega;$ alla funzione $F$ si associa l'espressione formale
\[\omega:=A(x,y)dx+B(x,y)dy\]
detta forma differenziale. Sia $\gamma $ una curva semplice e regolare
\[\gamma(t)=\left(x(t),y(t)\right),\qquad t\in[a,b];\]
Allora l'integrale curvilineo di seconda specie di $F$ lungo $\gamma$ è definito come
\[\int\limits_{\gamma} \omega =\int\limits_{\gamma}\langle\overrightarrow{ F},d\overrightarrow{\gamma}\rangle :=\int_{a}^{b}\left[A\left(x(t);y(t)\right)\cdot x'(t)+B\left(x(t);y(t)\right)\cdot y'(t)\right]dt.\]
La forma differenziale definita da
\[\omega:= xy^2dx+(x^2y-1)dy,\]
la possiamo scirvere come somma di due forme differenziali:
\[\omega = \underbrace{xy^2dx+ x^2y dy}_{:=\omega_1}-\underbrace{ dy}_{:=\omega_2}.\]
a questo punto la forma $\omega_1$ risulta evidentemente chiusa, pertanto esatta essendo $\RR^2$ semplicemente connesso, pertanto applicando Gauss-Green lungo la curva chiusa $\gamma$ si ottiene
\[\int\limits_{\gamma} xy^2dx+ x^2y dy \stackrel{GG}{=}\iint\limits_{D}\left(\frac{\partial B}{\partial x}-\frac{\partial A}{\partial x}\right) dxdy=\iint\limits_{D}\left(2xy-2xy \right) dxdy=0,\]
pertanto il contributo della forma $\omega_1$ è nullo. In definitva tutto si riduce al calcolo dell'integrale lungo $\gamma$ della forma $\omega_2:$ parametrizzando i lati del triangolo otteniamo:
\begin{align}
\gamma_1(t)=\begin{cases}
x(t)=t\\
y(t)=0
\end{cases}\quad t\in[0,1];\qquad\gamma_2(t)=\begin{cases}
x(t)=t\\
y(t)=1-t
\end{cases}\quad t\in[0,1];\qquad\gamma_3(t)=\begin{cases}
x(t)=0\\
y(t)=1
\end{cases}\quad t\in[0,1],
\end{align}
pertanto
\begin{align}
\int_{\gamma } \omega_2&=\int_{\gamma_1\cup\gamma_2\cup\gamma^-_3} \omega_2 =\int_{\gamma_1 } \omega_2+\int_{\gamma_2} \omega_2-\int_{\gamma_3 } \omega_2\\
&=\int_{t=0}^{1}0\cdot dt+\int_{t=0}^{1}-1 \cdot dt-\int_{t=0}^{1}0\cdot dt=-1.
\end{align}
in definitiva:
\[\int\limits_{\gamma}\omega = 0-(-1)=1.\]
"Noisemaker":
Sono due cose differenti.
Per dirla in termini banali:
- integrale di linea di prima specie, con la formula che prevede la norma, si applica per le funzioni
- integrale di seconda specie, vale per le forme differenziali.
E' così?
La forma differenziale definita da
la possiamo scirvere come somma di due forme differenziali:
Maledetto, aveva messo il tranello!
$ parametrizzando i lati del triangolo otteniamo:
\begin{align}
\gamma_1(t)=\begin{cases}
x(t)=t\\
y(t)=0
\end{cases}\quad t\in[0,1];\qquad\gamma_2(t)=\begin{cases}
x(t)=t\\
y(t)=1-t
\end{cases}\quad t\in[0,1];\qquad\gamma_3(t)=\begin{cases}
x(t)=0\\
y(t)=1
\end{cases}\quad t\in[0,1],
\end{align}
Non capisco come hai svolto seconda e terza parametrizzazione, io ho seguito la regola
$ { ( X(t)= Xo + t(X1-Xo)),( Y(t)= Yo + t(Y1-Yo) ):} $
da cui
$PQ{ ( X(t)= 1 + t(0-1)),( Y(t)= 0 + t(1-0) ):} QO{ ( X(t)= 0 + t(0-0)),( Y(t)= 1 + t(0-1) ):} $
@Noisemaker: Ma pure la forma $dy$ è esatta. Quindi anche la forma differenziale data in partenza è esatta. L'integrale dovrebbe annullarsi direi.
Sull'integrale di "prima" e "seconda" specie (che terminologia infelice, una assoluta mancanza di fantasia), la differenza è presto detta: nel primo caso ti danno anche il "ds" o "dl", l'elemento di lunghezza -
\[
\int_\gamma f\, ds. \]
Si svolge valutando $f$ lungo $gamma=gamma(t)$ e trasformando l'elemento di lunghezza secondo la formula
\[
ds=\sqrt{\lvert \dot{\gamma}(t)\rvert}\, dt.
\]
Di solito si scrive, un po' impropriamente ma in maniera molto efficace, \(ds^2=dx_1^2+dx_2^2+\dots+dx_n^2\). Volendo uno potrebbe anche cambiare elemento di lunghezza, e così tutti gli integrali di linea delle funzioni cambierebbero di conseguenza. E' il punto di vista della relatività generale di Einstein: la presenza di massa nello spazio-tempo cambia l'elemento di lunghezza e quindi cambia tutta la geometria.
E' diverso con l'integrale di una forma che invece è completamente auto-contenuto:
\[
\int_\gamma \omega.\]
Non si aggiunge nessun \(ds\). Infatti una forma differenziale, a differenza di una funzione, contiene già pre-installate tutte le istruzioni per essere integrata lungo una linea.
Queste sono un po' di considerazioni sparse che spero non siano troppo confusionarie. Per capire da dove me ne sono uscito consiglio un'occhiata a queste bellissime note di Bachman:
http://arxiv.org/abs/math/0306194
Sull'integrale di "prima" e "seconda" specie (che terminologia infelice, una assoluta mancanza di fantasia), la differenza è presto detta: nel primo caso ti danno anche il "ds" o "dl", l'elemento di lunghezza -
\[
\int_\gamma f\, ds. \]
Si svolge valutando $f$ lungo $gamma=gamma(t)$ e trasformando l'elemento di lunghezza secondo la formula
\[
ds=\sqrt{\lvert \dot{\gamma}(t)\rvert}\, dt.
\]
Di solito si scrive, un po' impropriamente ma in maniera molto efficace, \(ds^2=dx_1^2+dx_2^2+\dots+dx_n^2\). Volendo uno potrebbe anche cambiare elemento di lunghezza, e così tutti gli integrali di linea delle funzioni cambierebbero di conseguenza. E' il punto di vista della relatività generale di Einstein: la presenza di massa nello spazio-tempo cambia l'elemento di lunghezza e quindi cambia tutta la geometria.
E' diverso con l'integrale di una forma che invece è completamente auto-contenuto:
\[
\int_\gamma \omega.\]
Non si aggiunge nessun \(ds\). Infatti una forma differenziale, a differenza di una funzione, contiene già pre-installate tutte le istruzioni per essere integrata lungo una linea.
Queste sono un po' di considerazioni sparse che spero non siano troppo confusionarie. Per capire da dove me ne sono uscito consiglio un'occhiata a queste bellissime note di Bachman:
http://arxiv.org/abs/math/0306194
"dissonance":
@Noisemaker: Ma pure la forma $dy$ è esatta. Quindi anche la forma differenziale data in partenza è esatta. L'integrale dovrebbe annullarsi direi.
vero!
Grazie a Dissonance per la precisazione!
Noisemaker, non mi hai risposto sulle parametriche!
Da come le hai scritte, si direbbe che tu abbia considerato un verso di percorrenza orario, e NON antiorario!
Noisemaker, non mi hai risposto sulle parametriche!
Da come le hai scritte, si direbbe che tu abbia considerato un verso di percorrenza orario, e NON antiorario!
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