Risoluzione integrale di funzione esponenziale
Salve a tutti,
risolvendo una equazione differenziale con delta positivo mi sono ritrovato ad un certo punto a dover risolvere questo integrale:
$ int_( )^( ) 1/(1+e^{3x})dx $
ed è da ieri che provo a girarlo come un calzino, ma non riesco a venirne a capo.
C'è qualcuno che potrebbe darmi un suggerimento su come va risolto?
Grazie per l'aiuto,
Alfonso.
risolvendo una equazione differenziale con delta positivo mi sono ritrovato ad un certo punto a dover risolvere questo integrale:
$ int_( )^( ) 1/(1+e^{3x})dx $
ed è da ieri che provo a girarlo come un calzino, ma non riesco a venirne a capo.
C'è qualcuno che potrebbe darmi un suggerimento su come va risolto?
Grazie per l'aiuto,
Alfonso.
Risposte
Beh, la classica sostituzione $x = log (t)$ per ricondursi ai fratti semplici non ti porta al risultato?
In generale, se l'integrando è una funzione razionale di [tex]$e^x$[/tex], ossia qualcosa del tipo:
[tex]$R(e^x)=\frac{\ \sum_{n=0}^p a_n\ e^{nx}\ }{\ \sum_{n=0}^q b_n\ e^{nx}\ }$[/tex],
la sostituzione [tex]$t=e^x \Leftrightarrow x=\ln t$[/tex] consente sempre di ricondurre l'integrale di partenza all'integrale di una funzione razionale fratta di [tex]$t$[/tex], il quale si risolve col metodo dei fratti semplici.
Infatti:
[tex]$\int \frac{\ \sum_{n=0}^p a_n\ e^{nx}\ }{\ \sum_{n=0}^q b_n\ e^{nx}\ }\ \text{d} x \stackrel{t=e^x}{=} \int \frac{\ \sum_{n=0}^p a_n\ t^n\ }{\ \sum_{n=0}^q b_n\ t^n\ }\ \frac{1}{t}\ \text{d} t$[/tex].
[tex]$R(e^x)=\frac{\ \sum_{n=0}^p a_n\ e^{nx}\ }{\ \sum_{n=0}^q b_n\ e^{nx}\ }$[/tex],
la sostituzione [tex]$t=e^x \Leftrightarrow x=\ln t$[/tex] consente sempre di ricondurre l'integrale di partenza all'integrale di una funzione razionale fratta di [tex]$t$[/tex], il quale si risolve col metodo dei fratti semplici.
Infatti:
[tex]$\int \frac{\ \sum_{n=0}^p a_n\ e^{nx}\ }{\ \sum_{n=0}^q b_n\ e^{nx}\ }\ \text{d} x \stackrel{t=e^x}{=} \int \frac{\ \sum_{n=0}^p a_n\ t^n\ }{\ \sum_{n=0}^q b_n\ t^n\ }\ \frac{1}{t}\ \text{d} t$[/tex].
"Zkeggia":
Beh, la classica sostituzione $x = log (t)$ per ricondursi ai fratti semplici non ti porta al risultato?
Ho provato sia ad usare la scomposizione in fratti semplici (dopo la sostituzione) sia l'integrazione per parti, ma non arrivo ad avere lo stesso risultato che vien fuori da wolfram alpha.
Ecco i passi dell'integrazione con sostituzione/parti:
$ e^3x = t $ ____ $ x=(log t)/3 $ _____ $ dx = 1/3t dt $
$ int_( )^( ) 1/(3t*(1+t)) dt $
$ 1/3 * int_( )^( ) 1/(t*(1+t)) dt $
Per parti 1/t fattore diff, 1/1+t fattore finito
$ 1/3 * ( (log|t|)/(1+t)-int_( )^( ) log|t|*(1+t)dt ) $
$ 1/3 * ( (log|t|)/(1+t)-(int_( )^( ) log|t|dt+int_( )^( ) t*log|t|dt) ) $
$ 1/3 * ( (log|t|)/(1+t)-(tlog|t|-t+int_( )^( ) t*log|t|dt) ) $
Nuovamente per parti: FD: t , FF: logt
$ 1/3 * ( (log|t|)/(1+t)-(tlog|t|-t+(t^2/2)*logt-int_( )^( ) (t^2/2)*1/t dt) ) $
$ 1/3 * ( (log|t|)/(1+t)-(tlog|t|-t+t^2/2*logt-t^2/4) ) $
Ovviamente a questo punto risostituisco $ t=e^3x $
Notate errori nel procedimento?
Grazie per l'aiuto
Errori di procedimento non mi pare (ma non ho controllato i calcoli), errori nella scelta della strategia giusta direi sì, grossi come case anche 
Arrivato a $1/3 int 1/(t*(1+t))dt$ perché non hai scomposto in fratti semplici? guarda come si faceva veloce:
Scomponiamo in somma di fratti semplici il denominatore:
$ 1/(t*(1+t)) = A/t + B(1+t)$ dove si ha $A + At + Bt = 1 -> A = 1, B = -1$ e cioè
$int 1/(t*(1+t))dt =int 1/t - 1/(1+t) dt = ln (|t|) - ln|1+t|$
Pronto e servito.
Arrivato a $1/3 int 1/(t*(1+t))dt$ perché non hai scomposto in fratti semplici? guarda come si faceva veloce:
Scomponiamo in somma di fratti semplici il denominatore:
$ 1/(t*(1+t)) = A/t + B(1+t)$ dove si ha $A + At + Bt = 1 -> A = 1, B = -1$ e cioè
$int 1/(t*(1+t))dt =int 1/t - 1/(1+t) dt = ln (|t|) - ln|1+t|$
Pronto e servito.
"Zkeggia":
Errori di procedimento non mi pare (ma non ho controllato i calcoli), errori nella scelta della strategia giusta direi sì, grossi come case anche
Arrivato a $1/3 int 1/(t*(1+t))dt$ perché non hai scomposto in fratti semplici? guarda come si faceva veloce:
Scomponiamo in somma di fratti semplici il denominatore:
$ 1/(t*(1+t)) = A/t + B(1+t)$ dove si ha $A + At + Bt = 1 -> A = 1, B = -1$ e cioè
$int 1/(t*(1+t))dt =int 1/t - 1/(1+t) dt = ln (|t|) - ln|1+t|$
Pronto e servito.
Ciao e grazie!
Avevo provato a farlo in quel modo ed infatti ho scritto 3 pagine di calcoli perché in precedenza, come un idiota, avevo sostituito usando t=e^x e quindi mi trovavo con una equazione di 4° grado che mi sono sciroppato per scomposizione
Ma anche se tu avessi sostituito $t=e^x$ (che poi di fatto è come ti avevamo suggerito gugo ed io) veniva semplice uguale.
$int 1/(t(t^3+1))dt = int A/t + (Bt^2)/(t^3+1)dt $
Condizione:
$A/t + (Bt^2)/(t^3+1) = 1 /(t*(t^3+1)) -> A=1, B= -1$ (guarda un po', gli stessi A e B di prima...)
$int 1/t - t^2/(1+t^3)dt = ln |t| - 1/3 ln (|1+t^3|)$
$int 1/(t(t^3+1))dt = int A/t + (Bt^2)/(t^3+1)dt $
Condizione:
$A/t + (Bt^2)/(t^3+1) = 1 /(t*(t^3+1)) -> A=1, B= -1$ (guarda un po', gli stessi A e B di prima...)
$int 1/t - t^2/(1+t^3)dt = ln |t| - 1/3 ln (|1+t^3|)$
"Zkeggia":
Ma anche se tu avessi sostituito $t=e^x$ (che poi di fatto è come ti avevamo suggerito gugo ed io) veniva semplice uguale.
$int 1/(t(t^3+1))dt = int A/t + (Bt^2)/(t^3+1)dt $
Condizione:
$A/t + (Bt^2)/(t^3+1) = 1 /(t*(t^3+1)) -> A=1, B= -1$ (guarda un po', gli stessi A e B di prima...)
$int 1/t - t^2/(1+t^3)dt = ln |t| - 1/3 ln (|1+t^3|)$
A te viene semplicemente uguale, perché non hai idea di quello che ho fatto io sula carta (erroneamente), scomponendo un pò alla volta
Grazie ancora per l'aiuto.
Spero di poter contribuire anche io, nel mio piccolo, a dare una mano sul forum
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