Risoluzione Integrale

[Marinelli fa Dublino]

Salve a tutti.
Sto cercando di risolvere questo integrale \(\displaystyle \int \frac{1}{sen^2(x)} ln(1+\frac{1}{tan^2(x)} )dx\)

ma non capisco perchè \(\displaystyle \frac{1}{sen^2(x)} \) diventa \(\displaystyle \frac{1}{t^2}\) ponendo \(\displaystyle t = tan(x)\).

Questo è ciò che propone il mio libro
https://cdn.pbrd.co/images/Hn8Gb4S.png

[dRic]

$dx = \frac {dt} {1+t^2} = \frac {dt} {1 + {\frac {sin(x)} {cos(x)}}^2} = dt * \frac {cos^2(x)} 1$

[pilloeffe]

Ciao Marinelli fa Dublino,

Benvenuto sul forum!

Farei così:

$ int frac{1}{sin^2 x} ln(1+frac{1}{tan^2 x}) dx = int frac{sin^2 x + cos^2 x}{sin^2 x} ln(1+frac{1}{tan^2 x}) dx = $
$ = int (1 + frac{1}{tan^2 x}) ln(1+frac{1}{tan^2 x}) dx = int (frac{1 + tan^2 x}{tan^2 x}) ln(1+frac{1}{tan^2 x}) dx $

Posto $t := tan x \implies dt = (1 + tan^2 x) dx \implies dx = frac{dt}{1 + tan^2 x} = frac{dt}{1 + t^2} $, si ha:

$ int (frac{1 + tan^2 x}{tan^2 x}) ln(1+frac{1}{tan^2 x}) dx = int (frac{1 + t^2}{t^2}) ln(1+frac{1}{t^2}) frac{dt}{1 + t^2} = int frac{1}{t^2} ln(1+frac{1}{t^2}) dt $

L'ultimo integrale scritto poi si integra per parti come suggerito dal tuo libro.

[Marinelli fa Dublino]

Grazie mille, adesso ho capito.
Siete meglio di **** che almeno qui posso postare le domande e risolvere i miei dubbi :3