Risoluzione forma differenziale da esame
Salve, ho dei dubbi sulla risoluzione di equazioni differenziali per temi d'esame, vorrei sapere se il procedimento e la risoluzione svolta è corretta.
Il problema di Cauchy è il seguente
$ { ( xyy'=1-y^2 ),( y(1)=1 ):} $
Si tratta di un'equazione del primo ordine a variabili separabili uguale a
$y'=(1-y^2)/(xy)$ valevole per $ x,y != 0$.
Verifico che non vi siano soluzioni stazionarie che verifichino la condizione iniziale.
Dopo separazione avrò gli integrali
$ int_()^() y/(1-y^2) dy = int1/xdx $
che svolta darà $ -ln|1-y^2|=2ln|x|+2c $ (ho portato 1/2 al secondo membro)
Il tutto lo rendo esponente di $e$ in modo da ottenere
$ -|1-y^2|=x^2e^(2c) $
Potrei qui fare due considerazioni differenti:
1) Poichè la condizione iniziale impone che y=1 allora opero nell'intervallo positivo (con $y != 0$) e dunque il valore assoluto al primo membro si elimina e considero solo $1-y^=x^2e^(2c) $
2) Ovvero , come è riportato su di un esercizio svolto a lezione e ricopiato (ma non so se è copiato bene!), per il valore assoluto al primo membro considero l'uguaglianza
$ 1-y^2= +- x^2e^(2c) $
Se pongo $k=+-e^(2c)$ avrò $1-y^2=kx^$
Quale delle due considerazioni è corretta?
Vado avanti e impongo la condizione iniziale $ y(1)=1$, avrò così che $k=0$
Quindi soluzione del problema sarà $-|1-y|=x^2$, cioè $y=+-sqrt(1+x^2)$
Poichè $y>0$ allora soluzione del problema di Cauchy sarà
$ { ( y=sqrt(1+x^2)),( y(1)=1 ):} $
Giusto o sbagliato?
Grazie in anticipo per la risposta.
Il problema di Cauchy è il seguente
$ { ( xyy'=1-y^2 ),( y(1)=1 ):} $
Si tratta di un'equazione del primo ordine a variabili separabili uguale a
$y'=(1-y^2)/(xy)$ valevole per $ x,y != 0$.
Verifico che non vi siano soluzioni stazionarie che verifichino la condizione iniziale.
Dopo separazione avrò gli integrali
$ int_()^() y/(1-y^2) dy = int1/xdx $
che svolta darà $ -ln|1-y^2|=2ln|x|+2c $ (ho portato 1/2 al secondo membro)
Il tutto lo rendo esponente di $e$ in modo da ottenere
$ -|1-y^2|=x^2e^(2c) $
Potrei qui fare due considerazioni differenti:
1) Poichè la condizione iniziale impone che y=1 allora opero nell'intervallo positivo (con $y != 0$) e dunque il valore assoluto al primo membro si elimina e considero solo $1-y^=x^2e^(2c) $
2) Ovvero , come è riportato su di un esercizio svolto a lezione e ricopiato (ma non so se è copiato bene!), per il valore assoluto al primo membro considero l'uguaglianza
$ 1-y^2= +- x^2e^(2c) $
Se pongo $k=+-e^(2c)$ avrò $1-y^2=kx^$
Quale delle due considerazioni è corretta?
Vado avanti e impongo la condizione iniziale $ y(1)=1$, avrò così che $k=0$
Quindi soluzione del problema sarà $-|1-y|=x^2$, cioè $y=+-sqrt(1+x^2)$
Poichè $y>0$ allora soluzione del problema di Cauchy sarà
$ { ( y=sqrt(1+x^2)),( y(1)=1 ):} $
Giusto o sbagliato?
Grazie in anticipo per la risposta.
Risposte
a me sembra che la soluzione di questo problema di Cauchy sia $y=1$
infatti $xyy'=0=1-y^2$ e ovviamente $y(1)=1$
un'altra soluzione costante,non del problema di Cauchy ma dell'equazione $xyy'=1-y^2$,è $y=-1$
infatti $xyy'=0=1-y^2$ e ovviamente $y(1)=1$
un'altra soluzione costante,non del problema di Cauchy ma dell'equazione $xyy'=1-y^2$,è $y=-1$
Perfetto!
Sono talmente rincoglionito dallo studio ininterrotto da diversi giorni, che mi sono dimenticato di svolgere questo studio così banale!
Perciò, ricapitolando:
Isolo $b(y)= (1-y^2)/y$, che è continua nell'intervallo $(0,+oo)$, calcolo la derivata prima e verifico che sia continua nel punto $xo=1$, dal momento che lo è, la funzione è lipschitziana: unica soluzione locale per il problema di Cauchy, in questo caso 1.
Dopodichè faccio la verifica dei punti stazionari, ponendo $b(yo)=0$.
Avrò che questa è vera per $y=+-1$.
Ma poichè l'intervallo di continuità è quello positivo, considero solo il valore positivo... che casualmente, coincide con la
condizione iniziale del problema!
Dunque, ho finito qui il mio esercizio, ed il resto dei calcoli, con l'integrazione delle variabili separate, me lo potevo risparmiare.
Giusto?
Domande, per vedere se ho capito.
1) la funzione lipschitziana implica una soluzione locale... se la soluzione stazionaria non fosse stata quella del problema di Cauchy, poniamo il caso che la condizione iniziale fosse stata $y(2)=2$, avrei dovuto proseguire l'esercizio come ho fatto?
In questo caso i calcoli da me svolti sarebbero corretti (mi viene il dubbio che ho sbagliato qualcosa nell'eliminazione dei logaritmi.
2) condinuando in questa ipotesi, la funzione lipschitziana implica oltre una soluzione locale anche un prolungamento massimo di esistenza, per ottenere il prolungamento, dovrei individuare la soluzione del problema è porla $>0$?
Sono talmente rincoglionito dallo studio ininterrotto da diversi giorni, che mi sono dimenticato di svolgere questo studio così banale!
Perciò, ricapitolando:
Isolo $b(y)= (1-y^2)/y$, che è continua nell'intervallo $(0,+oo)$, calcolo la derivata prima e verifico che sia continua nel punto $xo=1$, dal momento che lo è, la funzione è lipschitziana: unica soluzione locale per il problema di Cauchy, in questo caso 1.
Dopodichè faccio la verifica dei punti stazionari, ponendo $b(yo)=0$.
Avrò che questa è vera per $y=+-1$.
Ma poichè l'intervallo di continuità è quello positivo, considero solo il valore positivo... che casualmente, coincide con la
condizione iniziale del problema!
Dunque, ho finito qui il mio esercizio, ed il resto dei calcoli, con l'integrazione delle variabili separate, me lo potevo risparmiare.
Giusto?
Domande, per vedere se ho capito.
1) la funzione lipschitziana implica una soluzione locale... se la soluzione stazionaria non fosse stata quella del problema di Cauchy, poniamo il caso che la condizione iniziale fosse stata $y(2)=2$, avrei dovuto proseguire l'esercizio come ho fatto?
In questo caso i calcoli da me svolti sarebbero corretti (mi viene il dubbio che ho sbagliato qualcosa nell'eliminazione dei logaritmi.
2) condinuando in questa ipotesi, la funzione lipschitziana implica oltre una soluzione locale anche un prolungamento massimo di esistenza, per ottenere il prolungamento, dovrei individuare la soluzione del problema è porla $>0$?
a me risulta che l'integrale generale sia $y=+-sqrt(1+c/x^2)$
volendo prendere il tuo esempio,cioè $y(2)=2$,la soluzione del problema di Cauchy è $y=sqrt(1+12/x^2)$
volendo prendere il tuo esempio,cioè $y(2)=2$,la soluzione del problema di Cauchy è $y=sqrt(1+12/x^2)$
"stormy":
a me risulta che l'integrale generale sia $y=+-sqrt(1+c/x^2)$
Quindi l'integrale generale lo devo comunque calcolare???
Per quanto riguarda il risultato, partendo da qua
$ −ln∣1−y^2∣=2ln|x|+2c $
io, parto da qui, al secondo membro metto in evidenza il 2
$ −ln∣1−y^2∣=2(ln|x|+c) $
A questo punto, per equiparare la c agli altri elementi dell'equazione, pongo $c=ln(e^c)$
E trasformando i due membri negli esponenziali $e^(ln(1-y^2))=e^(2(ln|x|+c)) $, dovrei ottenere $ -|1-y^2|=x^2e^(2c) $.
Non capisco come invece tu finisca per trovarti quel $c/x^2$.
non comunque,solo quando la soluzione non è evidente come lo era nel problema di Cauchy iniziale
detto questo,se bisogna calcolarlo
$inty/(1-y^2)dy=int(dx)/x$
$-1/2ln|1-y^2|=ln|x|+lnk$,con $k>0$
$ln|1-y^2|=-2lnk|x|$
$ln|1-y^2|=ln (k/x^2)$
$|1-y^2|=k/x^2$
$1-y^2=c/x^2,c in mathbbR$
$y=+-sqrt(1+c/x^2)$
detto questo,se bisogna calcolarlo
$inty/(1-y^2)dy=int(dx)/x$
$-1/2ln|1-y^2|=ln|x|+lnk$,con $k>0$
$ln|1-y^2|=-2lnk|x|$
$ln|1-y^2|=ln (k/x^2)$
$|1-y^2|=k/x^2$
$1-y^2=c/x^2,c in mathbbR$
$y=+-sqrt(1+c/x^2)$
"stormy":
non comunque,solo quando la soluzione non è evidente come lo era nel problema di Cauchy iniziale
detto questo,se bisogna calcolarlo
Ti ringrazio per i passaggi, non capisco
$ln|1-y^2|=ln (k/x^2)$
Il due è diventato esponente della x, ma perchè la x entra nell'argomento come denominatore e non come prodotto?
perchè $x^(-2)=1/x^2$
Giusto!
Ti ringrazio per l'aiuto!!!
Ti ringrazio per l'aiuto!!!
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