Risoluzione esercizio sui limiti
Buongiorno a tutti,
Qualcuno potrebbe spiegarmi la risoluzione di questo limite:
$lim_(h->0)(ln(x)^x) $
Grazie mille e buona giornata
Qualcuno potrebbe spiegarmi la risoluzione di questo limite:
$lim_(h->0)(ln(x)^x) $
Grazie mille e buona giornata
Risposte
Ciao s.tirelli,
Benvenuto sul forum!
Innanzitutto immagino che il limite proposto sia per $x \to 0^+ $, poi la parentesi esterna è inutile, per cui in definitiva immagino che il limite da risolvere sia il seguente:
$\lim_{x \to 0^+} ln(x^x) = \lim_{x \to 0^+} x ln x = \lim_{x \to 0^+} (ln x)/(1/x) \stackrel[H]{=} \lim_{x \to 0^+} (1/x)/(- 1/x^2) = 0 $
Benvenuto sul forum!
"s.tirelli":
Qualcuno potrebbe spiegarmi la risoluzione di questo limite:
$\lim_{h \to 0} (ln(x)^x) $
Innanzitutto immagino che il limite proposto sia per $x \to 0^+ $, poi la parentesi esterna è inutile, per cui in definitiva immagino che il limite da risolvere sia il seguente:
$\lim_{x \to 0^+} ln(x^x) = \lim_{x \to 0^+} x ln x = \lim_{x \to 0^+} (ln x)/(1/x) \stackrel[H]{=} \lim_{x \to 0^+} (1/x)/(- 1/x^2) = 0 $
Ciao pilloefffe,
Grazie per la risposta! Ho fotto confusione quando ho scritto il limite
Il limite è questo:
$lim_(x->0^+) (lnx)^x$
Grazie mille
Grazie per la risposta! Ho fotto confusione quando ho scritto il limite
Il limite è questo:
$lim_(x->0^+) (lnx)^x$
Grazie mille
"s.tirelli":
Ho fatto confusione quando ho scritto il limite
Il limite è questo:
$\lim_{x \to 0^+} (lnx)^x$
Ah beh, in tal caso le cose cambiano e secondo me ci va anche un modulo...
Si ha:
$\lim_{x \to 0^+} |lnx|^x = \lim_{x \to 0^+} e^{ln|lnx|^x} = \lim_{x \to 0^+} e^{x ln|lnx|} = 1 $
Non ti resta che dimostrare che $ \lim_{x \to 0^+} x ln|lnx| = \lim_{x \to 0^+} (ln|lnx|)/(1/x) = 0 $
Volendo la funzione la si potrebbe anche estendere ai punti nel quale quella quantità è definita per $0
$x=1/(2n+1),n in NN$
@tirelli
Conferma o modifica con certezza la scrittura del limite, pilloeffe ti sta pur sempre dedicando del tempo.
$x=1/(2n+1),n in NN$
@tirelli
Conferma o modifica con certezza la scrittura del limite, pilloeffe ti sta pur sempre dedicando del tempo.
Buongiorno @anto_zoolander,
Scusstemi per il ritardo!
Nell'esercizio il limite non ha il valore assoluto! È scritto come l'ho scritto io la seconda volta. Complessivamente deve fare 1
Scusstemi per il ritardo!
Nell'esercizio il limite non ha il valore assoluto! È scritto come l'ho scritto io la seconda volta. Complessivamente deve fare 1
Quello che sto per fare potrebbe essere radioattivo
prendo la funzione $f(x)=log(x)^x$
l'obiettivo dei passi successivi è mostrare che il limite esiste, così da poterlo calcolare(volendo) anche con una successione.
la funzione $f$ esiste in $(0,1)$ per tutti i valori di $QQ cap (0,1)$ dove il razionale, ridotto ai minimi termini, deve avere il denominatore dispari. Se non sbaglio non ci sono altri valori, poniamo $D$ quindi l'insieme su cui è definita per $0
per tali valori possiamo scrivere
$f(x)=(logx)^x=(-1)^x log(1/x)^x$ di fatto in quell'insieme $(-1)^x$ può essere calcolato sempre.
è chiaro che se $x->0$ in quell'insieme allora $(-1)^x -> 1$
mi posso pertanto concentrare sulla parte $lim_(x->0)log(1/x)=lim_(x->0)e^(xlog(log(1/x))$
lavoro sulla funzione $g(x)=xlog(log(1/x))$ che essendo ben definita in $(0,1)$ la considero come $g:(0,1)->RR$ per studiarne qualche proprietà
$g'(x)=(log(log(1/x))-1)/(log(1/x))$ che per $0
pertanto significa che $lim_(x->0) x log(log(1/x))$ esiste e coincide con l'estremo inferiore in quell'insieme.
esistendo tale limite allora esistono anche $lim_(x->0)e^(xlog(log(1/x))$ e $lim_(x->0)log(x)^x$
pertanto hai due possibilità: calcoli $lim_(x->0) x log(log(1/x))$ oppure prendi una qualsiasi successione del tipo $1/(a_n)$ con $a_n$ sempre dispari(tipo $1/(2n+1)$) e calcoli $lim_(n->+infty)log(1/a_n)^(1/a_n)$
prendo la funzione $f(x)=log(x)^x$
l'obiettivo dei passi successivi è mostrare che il limite esiste, così da poterlo calcolare(volendo) anche con una successione.
la funzione $f$ esiste in $(0,1)$ per tutti i valori di $QQ cap (0,1)$ dove il razionale, ridotto ai minimi termini, deve avere il denominatore dispari. Se non sbaglio non ci sono altri valori, poniamo $D$ quindi l'insieme su cui è definita per $0
per tali valori possiamo scrivere
$f(x)=(logx)^x=(-1)^x log(1/x)^x$ di fatto in quell'insieme $(-1)^x$ può essere calcolato sempre.
è chiaro che se $x->0$ in quell'insieme allora $(-1)^x -> 1$
mi posso pertanto concentrare sulla parte $lim_(x->0)log(1/x)=lim_(x->0)e^(xlog(log(1/x))$
lavoro sulla funzione $g(x)=xlog(log(1/x))$ che essendo ben definita in $(0,1)$ la considero come $g:(0,1)->RR$ per studiarne qualche proprietà
$g'(x)=(log(log(1/x))-1)/(log(1/x))$ che per $0
pertanto significa che $lim_(x->0) x log(log(1/x))$ esiste e coincide con l'estremo inferiore in quell'insieme.
esistendo tale limite allora esistono anche $lim_(x->0)e^(xlog(log(1/x))$ e $lim_(x->0)log(x)^x$
pertanto hai due possibilità: calcoli $lim_(x->0) x log(log(1/x))$ oppure prendi una qualsiasi successione del tipo $1/(a_n)$ con $a_n$ sempre dispari(tipo $1/(2n+1)$) e calcoli $lim_(n->+infty)log(1/a_n)^(1/a_n)$
Posso anche ammirare quanto fatto da anto_zoolander, ma la funzione \(\log(x)^x\) è ben definita solo per \(x>1\), e sicuramente il limite corretto da calcolare è
\[
\lim_{x\to 1^{+}}\log x^x.\]
Infatti, è una discussione ricorrente su questo forum su quale sia il dominio della funzione
\[
(x, y)\mapsto x^y.\]
Non è una cosa matematicamente molto rilevante, quindi tendo a smorzare i toni su questo tema. Di solito, per evitare complicazioni inutili, si assume che il dominio sia \(x>0, y\in \mathbb R\).
\[
\lim_{x\to 1^{+}}\log x^x.\]
Infatti, è una discussione ricorrente su questo forum su quale sia il dominio della funzione
\[
(x, y)\mapsto x^y.\]
Non è una cosa matematicamente molto rilevante, quindi tendo a smorzare i toni su questo tema. Di solito, per evitare complicazioni inutili, si assume che il dominio sia \(x>0, y\in \mathbb R\).
@peppe
quantomeno penso sia corretto
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