Risoluzione esercizio flusso
Ho qualche problema con il seguente esercizio
Esercizio 4.
Sia F(x, y, z) = (−y, x, xyz) e sia G = ∇ × F. Sia S la parte di sfera x^2+y^2+z^2 = 25 che giace sotto il piano z=4 e orientata in modo tale che v sia uscente, si calcoli il flusso di G attraverso S.
Io avevo pensato di utilizzare il teorema della divergenza, cioè dire che è possibile considerare la superficie S come bordo di un certo dominio T e allora trasformare il flusso del campo G nell'integrale triplo della divergenza di G. Essendo la divergenza del rotore = 0 ottengo che il risultato è 0.
C'è qualche errore nel ragionamento?
Se volessi calcolare direttamente il flusso secondo definizione, dopo aver parametrizzato la mia superficie come (x,y, sqrt(25-x^2-y^2)), come trovo il dominio D tale per cui h:D--->S? Ci ho provato e mi viene D = ((x,y) in R^2: x^2+y^2 > 9) e sinceramente ho come il presentimento di aver sbagliato qualcosa. Passando in coordinate polari infatti mi verrebbe che l'angolo teta varia da 0 a 2pi, mentre p varia da 3 a infinito!
Qualcuno sarebbe così gentile da mostrarmi la risoluzione diretta secondo definizione?
Terzo punto, avevo pensato anche ad usare il teorema del rotore, ma come parametrizzo il bordo della porzione di sfera? La porzione è come se fosse un mezzo guscio, quindi per il bordo superiore ho una circonferenza, ma "la conca" (non so se son riuscito a spiegarmi bene) come la parametrizzo?
Esercizio 4.
Sia F(x, y, z) = (−y, x, xyz) e sia G = ∇ × F. Sia S la parte di sfera x^2+y^2+z^2 = 25 che giace sotto il piano z=4 e orientata in modo tale che v sia uscente, si calcoli il flusso di G attraverso S.
Io avevo pensato di utilizzare il teorema della divergenza, cioè dire che è possibile considerare la superficie S come bordo di un certo dominio T e allora trasformare il flusso del campo G nell'integrale triplo della divergenza di G. Essendo la divergenza del rotore = 0 ottengo che il risultato è 0.
C'è qualche errore nel ragionamento?
Se volessi calcolare direttamente il flusso secondo definizione, dopo aver parametrizzato la mia superficie come (x,y, sqrt(25-x^2-y^2)), come trovo il dominio D tale per cui h:D--->S? Ci ho provato e mi viene D = ((x,y) in R^2: x^2+y^2 > 9) e sinceramente ho come il presentimento di aver sbagliato qualcosa. Passando in coordinate polari infatti mi verrebbe che l'angolo teta varia da 0 a 2pi, mentre p varia da 3 a infinito!
Qualcuno sarebbe così gentile da mostrarmi la risoluzione diretta secondo definizione?
Terzo punto, avevo pensato anche ad usare il teorema del rotore, ma come parametrizzo il bordo della porzione di sfera? La porzione è come se fosse un mezzo guscio, quindi per il bordo superiore ho una circonferenza, ma "la conca" (non so se son riuscito a spiegarmi bene) come la parametrizzo?
Risposte
Ti ringrazio, tutto abbastanza chiaro. Il mio grande problema è proprio quello di non riuscire a dividere opportunamente lo spazio 
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