Risoluzione equazioni differenziali lineari del secondo ordine

[cozzaciccio]

Sale a tutti, in questi giorni sto facendo alcuni esercizi sulle equazioni differenziali, ed ho alcuni dubbi sulle equazioni differenziali lineari del secondo ordine non omogenee, per quanto riguarda le omogenee invece sono abbastanza sicuro di averle capite, i dubbi sorgono per quelle non omogenee.
Più precisamente ho problemi nell'individuare la soluzione particolare con il metodo della somiglianza, quando nel secondo membro si hanno forme alquanto particolari, come ad esempio, data l'equazione differenziale :
$y''+ay'+b=f(x)$ con $f(x) = Asenx$ oppure $f(x) = Acosx$
il libro dice che quando $f(x)$ è uguale ad una delle due forme precedentemente scritte, con il metodo della somiglianza la soluzione particolare è :
$z(x) = acosx+bsenx$
Ecco, non capisco come possa essere questa la soluzione, potrei anche imparare a memoria tutti i vari casi e strutture, ma vorrei arrivarci ragionando, e proprio per questo chiedo se qualcuno mi possa spiegare come si arriva ad una soluzione, con il metodo della somiglianza, di questo tipo.
Spero di essere stato chiaro e ringrazio anticipatamente chiunque abbia l pazienza di rispondere.

[donald_zeka]

Il metodo di somiglianza si applica quando il termine noto è un prodotto tra polinomi e sinusoidi, è noto infatti che la derivata e l'integrale di un polinomio sono ancora polinomi e la derivata e l'integrale di una sinusoide è ancora una sinusoide, quindi è ragionevole trovare una soluzione particolare che sia dello stesso tipo

[dissonance]

@Vulplaisir: questa è una buona risposta. Non so se l'ho mai letta su un libro di testo.

[donald_zeka]

@dissonance Neanche io l'ho mai letta da qualche parte, mi è venuta così a getto mentre scrivevo , dimenticavo anche l'esponenziale insieme a polinomi e sinusoidi