Risoluzione equazioni con parametro k?
Vorrei per piacere che mi indicaste la "strada" per trovare il numero di soluzioni di un'equazione al variare del parametro k, che sia adeguatamente giustificata.
Ad esempio di questa funzione :f(x)= $ (2e^x +x)/(e^{x}-ex) $
mi chiede di determinare i valori di k per cui l'equazione $ f(x)=k $ ha soluzioni.
Ripeto, non occorre che me lo facciate vorrei solo capire l'approccio per poter risolvere questo tipo di esercizio.
Grazie mille.
Ad esempio di questa funzione :f(x)= $ (2e^x +x)/(e^{x}-ex) $
mi chiede di determinare i valori di k per cui l'equazione $ f(x)=k $ ha soluzioni.
Ripeto, non occorre che me lo facciate vorrei solo capire l'approccio per poter risolvere questo tipo di esercizio.
Grazie mille.
Risposte
Partendo da $f(x)=k $ che è l'equazione non da risolvere ma solo da determinare per quali valori di $ k $ ha soluzioni riscrivila così come un sistema di cui vuoi trovare le soluzioni :
$y=f(x)$
$y=k$
Fai un grafico di $y=f(x) $ facendo lo studio di funzione
traccia la funzione $y=k $ che è una retta orizzontale di altezza variabile al variare di $k $
vedi per quali valori di le due curve si intersecano .....e quante volte si intersecano.
Mi risulta (S.E.0)
$K<=-1/e $ nessuna soluzione
$-1/e < k <= 2 $ una soluzione
$ k>2 $ due soluzioni.
$y=f(x)$
$y=k$
Fai un grafico di $y=f(x) $ facendo lo studio di funzione
traccia la funzione $y=k $ che è una retta orizzontale di altezza variabile al variare di $k $
vedi per quali valori di le due curve si intersecano .....e quante volte si intersecano.
Mi risulta (S.E.0)
$K<=-1/e $ nessuna soluzione
$-1/e < k <= 2 $ una soluzione
$ k>2 $ due soluzioni.
quindi, da quanto ho capito, il k deve ovviamente appartenere all'immagine di $ f(x) $ e per tali valori devo dire quante soluzioni ci sono (cioè in quanti punti la retta y=k interseca il grafico di f)?
un'ultima cosa..quei valori li hai trovati sfruttando solamente i limiti oppure anche la derivata prima per la monotonia e la seconda per la convessità? grazie mille
un'ultima cosa..quei valori li hai trovati sfruttando solamente i limiti oppure anche la derivata prima per la monotonia e la seconda per la convessità? grazie mille
La risposta alla prima domanda è positiva.
Ho fatto uno studio di funzione ridotto al minimo necessario : dominio, limiti agli estremi del dominio, zeri- in questo caso non era neppure necessario il calcolo della derivata prima ma in genere lo è.
Prova a fare lo studio e vediamo se ti vengono i miei stessi risultati.
Ho fatto uno studio di funzione ridotto al minimo necessario : dominio, limiti agli estremi del dominio, zeri- in questo caso non era neppure necessario il calcolo della derivata prima ma in genere lo è.
Prova a fare lo studio e vediamo se ti vengono i miei stessi risultati.
ho calcolato la derivata prima e mi risulta che f'(x)>0 per x<1 il che è corretto perché coincide con la monotonia del grafico di f..per quanto riguarda la convessità, è un pò lungo e complicato derivare ulteriormente f in ogni caso facendo limiti,zeri e monotonia penso che possa bastare per giustificare tutto quanto! Un'ultima cosa ,scusa, con la convessità che informazioni ricavo per quanto riguarda le soluzioni con il k? nel senso a che mi serve sapere se f è concava oppure convessa?
grazie
grazie
In questo caso la derivata seconda non serve per lo studio che devi fare . 
Ecco il grafico di y=f(x) : sono tracciate anche le rette di equazione y=2 e y= 1/e .
Le due rette non intersecano la curva ma sono ad essa asintotiche .
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Le due rette non intersecano la curva ma sono ad essa asintotiche .
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Grazie Camillo sei stato molto chiaro e molto gentile
Giulia.
Giulia.
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