Risoluzione equazioni
Ciao a tutti 
Spero di aver azzeccato la sezione più idonea...
Nello studio del corso di meccanica mi sono inchiodato su un paio di passaggi puramente algebrici... Avrei pertanto bisogno di un paio di dritte... 
La prima: non riesco a capire come (i passaggi) questa equazione:
$x=ae^((-z+isqrt(1-z^2))w_nt)+be^((-z-isqrt(1-z^2))w_nt)$
possa essere scritta anche così:
$x=x_0e^(-zw_nt)sin(w_st+\varphi_0)$ dove $w_s=w_nsqrt(1-z^2) < w_n$
La seconda cosa che non mi torna è la seguente.
Ho un'equazione differenziale
$ddot x+2zw_ndot x+w_n^2=0
avente come soluzione generale
$x=ae^(\lambda_1t)+be^(\lambda_2t)=ae^((-z+sqrt(z^2-1))w_nt)+be^((-z-sqrt(z^2-1))w_nt)$
Siccome $\lambda_(1,2)=-zw_n\pmiw_nsqrt(z^2-1)$, se pongo $z=1$ ottengo $\lambda_1=\lambda_2=\lambda=-w_n$
Sostituendo $\lambda=-w_n$ nella soluzione generale, si ottiene:
$x=ae^(-w_nt)+be^(-w_nt)$ Invece il libro moltiplica ancora $t$ al secondo addendo del secondo membro dell'equazione, in questo modo:
$x=ae^(-w_nt)+bte^(-w_nt)$
Mi sapete spiegare il perchè di questa $t$ "di troppo"? Probabilmente il motivo ha a che fare con il numero di soluzioni... Però non saprei...
Ringrazio chiunque mi possa dare una mano...
Ciao ciao
Luca
Spero di aver azzeccato la sezione più idonea...
Nello studio del corso di meccanica mi sono inchiodato su un paio di passaggi puramente algebrici... Avrei pertanto bisogno di un paio di dritte... La prima: non riesco a capire come (i passaggi) questa equazione:
$x=ae^((-z+isqrt(1-z^2))w_nt)+be^((-z-isqrt(1-z^2))w_nt)$
possa essere scritta anche così:
$x=x_0e^(-zw_nt)sin(w_st+\varphi_0)$ dove $w_s=w_nsqrt(1-z^2) < w_n$
La seconda cosa che non mi torna è la seguente.
Ho un'equazione differenziale
$ddot x+2zw_ndot x+w_n^2=0
avente come soluzione generale
$x=ae^(\lambda_1t)+be^(\lambda_2t)=ae^((-z+sqrt(z^2-1))w_nt)+be^((-z-sqrt(z^2-1))w_nt)$
Siccome $\lambda_(1,2)=-zw_n\pmiw_nsqrt(z^2-1)$, se pongo $z=1$ ottengo $\lambda_1=\lambda_2=\lambda=-w_n$
Sostituendo $\lambda=-w_n$ nella soluzione generale, si ottiene:
$x=ae^(-w_nt)+be^(-w_nt)$ Invece il libro moltiplica ancora $t$ al secondo addendo del secondo membro dell'equazione, in questo modo:
$x=ae^(-w_nt)+bte^(-w_nt)$
Mi sapete spiegare il perchè di questa $t$ "di troppo"? Probabilmente il motivo ha a che fare con il numero di soluzioni... Però non saprei...
Ringrazio chiunque mi possa dare una mano...
Ciao ciao
Luca
Risposte
"LucaB":
Ciao a tutti
Spero di aver azzeccato la sezione più idonea...
La prima: non riesco a capire come (i passaggi) questa equazione:
$x=ae^((-z+isqrt(1-z^2))w_nt)+be^((-z-isqrt(1-z^2))w_nt)$
possa essere scritta anche così:
$x=x_0e^(-zw_nt)sin(w_st+\varphi_0)$ dove $w_s=w_nsqrt(1-z^2) < w_n$
La seconda cosa che non mi torna è la seguente.
Ho un'equazione differenziale
$ddot x+2zw_ndot x+w_n^2=0
avente come soluzione generale
$x=ae^(\lambda_1t)+be^(\lambda_2t)=ae^((-z+sqrt(z^2-1))w_nt)+be^((-z-sqrt(z^2-1))w_nt)$
Siccome $\lambda_(1,2)=-zw_n\pmiw_nsqrt(z^2-1)$, se pongo $z=1$ ottengo $\lambda_1=\lambda_2=\lambda=-w_n$
Sostituendo $\lambda=-w_n$ nella soluzione generale, si ottiene:
$x=ae^(-w_nt)+be^(-w_nt)$ Invece il libro moltiplica ancora $t$ al secondo addendo del secondo membro dell'equazione, in questo modo:
$x=ae^(-w_nt)+bte^(-w_nt)$
Mi sapete spiegare il perchè di questa $t$ "di troppo"? Probabilmente il motivo ha a che fare con il numero di soluzioni... Però non saprei...
Ringrazio chiunque mi possa dare una mano...
Ciao ciao
Luca
Chiedo scusa, per quanto riguarda il primo punto sono riuscito a risolverlo, anche se ora mi trovo con almeno un paio di ore di sonno in meno
Per quanto riguarda invece la soluzione dell'equazione differenziale non so proprio dove sbattere la testa...
[mod="Martino"]Ciao,
mi sento un po' punto sul vivo: tu posti in algebra perché ritieni di non capire alcuni "passaggi algebrici", come se gli algebrici si dilettassero a fare passaggi algebrici.
Per la prossima volta: non è difficile capire quale sia la sezione giusta. Prendi l'argomento generale del tuo problema (e non qualche sottoargomento di qualche sottoproblema!) e ti chiedi quale sia l'ambito. In questo caso hai l'implicazione:
Equazioni differenziali $Rightarrow$ Analisi.
Sposto in analisi.[/mod]
mi sento un po' punto sul vivo: tu posti in algebra perché ritieni di non capire alcuni "passaggi algebrici", come se gli algebrici si dilettassero a fare passaggi algebrici.
Per la prossima volta: non è difficile capire quale sia la sezione giusta. Prendi l'argomento generale del tuo problema (e non qualche sottoargomento di qualche sottoproblema!) e ti chiedi quale sia l'ambito. In questo caso hai l'implicazione:
Equazioni differenziali $Rightarrow$ Analisi.
Sposto in analisi.[/mod]
Le soluzioni che tu hai scritto per l'equazione differenziale del secondo ordine e cioè :
$ae^(-omega_nt )$
$be^(-omega_nt)$
non sono linearmente indipendenti, anzi sono la stessa soluzione moltiplicata per costanti differenti e la loro somma non può essere la soluzione completa dell'equazione differenziale omogenea .Poichè l'equazione è del secondo ordine , le soluzioni formano uno spazio vettoriale di dimensione 2 e non 1.
Se le radici dell'equazione caratteristica sono uguali allora la seconda soluzione , linearmente indipendente dalla prima si ottiene moltiplicando la prima soluzione per $t $ .
Prendi il testo di analisi e studia questo argomento: se hai problemi chiedi pure ancora.
$ae^(-omega_nt )$
$be^(-omega_nt)$
non sono linearmente indipendenti, anzi sono la stessa soluzione moltiplicata per costanti differenti e la loro somma non può essere la soluzione completa dell'equazione differenziale omogenea .Poichè l'equazione è del secondo ordine , le soluzioni formano uno spazio vettoriale di dimensione 2 e non 1.
Se le radici dell'equazione caratteristica sono uguali allora la seconda soluzione , linearmente indipendente dalla prima si ottiene moltiplicando la prima soluzione per $t $ .
Prendi il testo di analisi e studia questo argomento: se hai problemi chiedi pure ancora.
Martino ti chiedo scusa, non avevo intenzione di offendere nessuo. Non sono nella posizione di poter giudicare chi fa la matematica, non lo voglio nemmeno, anzi! Ho utilizzato le parole "passaggi algebrici", ora capisco quanto impropriamente, per quanto riguarda la risoluzione del primo punto non chiaro... Perchè non riuscivo a capire le relazioni tra un'espressione e l'altra... Allora con "passaggi" volevo intendere quella cosa che io volgarmente e impropriamente chiamo "passaggi". Ho deciso successivamente di aggiungere anche la seconda cosa che non mi era chiara, non considerando il fatto di non essere nella sezione opportuna. Forse è stata la stanchezza a mandarmi fuori strada visto che ho postato alle 5 di mattina... Ti chiedo ancora scusa se ti ho offeso.
Ringrazio Camillo per la spiegazione, sei stato molto gentile, credo di aver capito.
Ringrazio Camillo per la spiegazione, sei stato molto gentile, credo di aver capito.
Meno male che non te la sei presa, avevo paura di essere stato troppo duro 
Sono sollevato, anche perché a parte l'appunto che ti ho fatto, hai seguito il regolamento alla lettera (hai scritto con chiarezza, hai esposto i dubbi, hai proposto tentativi di soluzione).
Sono sollevato, anche perché a parte l'appunto che ti ho fatto, hai seguito il regolamento alla lettera (hai scritto con chiarezza, hai esposto i dubbi, hai proposto tentativi di soluzione).
"Martino":
Meno male che non te la sei presa, avevo paura di essere stato troppo duro
Sono sollevato, anche perché a parte l'appunto che ti ho fatto, hai seguito il regolamento alla lettera (hai scritto con chiarezza, hai esposto i dubbi, hai proposto tentativi di soluzione).
Non ti preoccupare. Qui trovo sempre gente disponibile e che regala del tempo a persone come me a gratis... Devo pensare anche a queste cose ed essere riconoscente
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