Risoluzione equazione numero complesso.
Salve a tutti,
ho la seguente equazione : $ |z| = i - 4z $
non riesco a trovare la soluzione uguale a quella che si trova con Wolfram, perchè sostituisco a $|z|$ il radicale
$ sqrt(a^2 + b^2) $ , a $z$ il numero complesso generico $ a + ib $ ...
Si potrebbe risolvere in altro modo?
Grazie in anticipo^^
PS.
ho la seguente equazione : $ |z| = i - 4z $
non riesco a trovare la soluzione uguale a quella che si trova con Wolfram, perchè sostituisco a $|z|$ il radicale
$ sqrt(a^2 + b^2) $ , a $z$ il numero complesso generico $ a + ib $ ...
Si potrebbe risolvere in altro modo?
Grazie in anticipo^^
PS.
Risposte
Il tuo metodo è corretto.
\(\displaystyle \sqrt{{{{a}}^{{2}}+{{b}}^{{2}}}}=-4a+(1-4b)i \)
\(\displaystyle \sqrt{{{{a}}^{{2}}+{{b}}^{{2}}}}+4a-(1-4b)i =0\)
Le parte reale e la parte complessa devono essere zero.
Dunque
\(\displaystyle 1-4b=0 \)
Alora calcolare b è facile.
Poi calcolare a non può essere una problemà.
\(\displaystyle \sqrt{{{{a}}^{{2}}+{{b}}^{{2}}}}=-4a+(1-4b)i \)
\(\displaystyle \sqrt{{{{a}}^{{2}}+{{b}}^{{2}}}}+4a-(1-4b)i =0\)
Le parte reale e la parte complessa devono essere zero.
Dunque
\(\displaystyle 1-4b=0 \)
Alora calcolare b è facile.
Poi calcolare a non può essere una problemà.
Guardando bene in faccia l'equazione, essa ti sta dicendo che il numero \(\imath -4z\) ha da essere reale non negativo, poiché uguaglia \(|z|\) che tale è; quindi deve risultare \(\Re e(\imath -4z)\geq 0\) ed \(\Im m(\imath -4z)=0\).
Ma la parte reale ed il coefficiente dell'immaginario di \(\imath -4z\) sono \(4x\) e \(1-4y\), ove \(x=\Re e(z),\ y=\Im m (z)\), quindi hai:
\[
\begin{cases}
4x\geq 0\\
1-4y=0
\end{cases}
\]
che ti fornisce la soluzione generale.
Ma la parte reale ed il coefficiente dell'immaginario di \(\imath -4z\) sono \(4x\) e \(1-4y\), ove \(x=\Re e(z),\ y=\Im m (z)\), quindi hai:
\[
\begin{cases}
4x\geq 0\\
1-4y=0
\end{cases}
\]
che ti fornisce la soluzione generale.
EDIT : Chiedo scusa per il doppio post...
Ok , grazie innanzitutto delle risposte ragazzi. 
Secondo il metodo di wnvl, il quale (appunto) mi ci ritrovo, sarebbe quello di individuare semplicemente di i valori di a e b risolvendo l'equazione irrazionale?
Quindi , secondo il ragionamento (ottimo) di gugo, le soluzioni saranno :
$ { ( x>= 0 ),( y = 1/4 ):} $ ?
Sarebbero queste le soluzioni?
Vorrei una conferma , più che altro è la prima volta che mi ritrovo un esercizio del genere...
Grazie ancora per l'attenzione
Secondo il metodo di wnvl, il quale (appunto) mi ci ritrovo, sarebbe quello di individuare semplicemente di i valori di a e b risolvendo l'equazione irrazionale?
Quindi , secondo il ragionamento (ottimo) di gugo, le soluzioni saranno :
$ { ( x>= 0 ),( y = 1/4 ):} $ ?
Sarebbero queste le soluzioni?
Vorrei una conferma , più che altro è la prima volta che mi ritrovo un esercizio del genere...
Grazie ancora per l'attenzione
Ci deve essere una svista di Gugo in quanto la condizione $ccRe (z) = -4x >= 0 $ comporta $x<=0 $.
Comunque la soluzione non è $x<=0 , y=1/4 $ , ritengo che Gugo abbia messo sull'avviso che la scelta di $x $ va fatta ragionando, si arriva facendo i conti infatti all'equazione $x^2=1/(16*15)$ che ha due radici opposte e va scelta quella giusta
Comunque la soluzione non è $x<=0 , y=1/4 $ , ritengo che Gugo abbia messo sull'avviso che la scelta di $x $ va fatta ragionando, si arriva facendo i conti infatti all'equazione $x^2=1/(16*15)$ che ha due radici opposte e va scelta quella giusta
mmm.. ma come arriva il 15 al denominatore?
Posso capire che si elevano la x e la y al quadrato, però il 15 non capisco proprio da dove sia uscito.
Posso capire che si elevano la x e la y al quadrato, però il 15 non capisco proprio da dove sia uscito.
$|z|=i-4z $
pongo $z=x+iy$
$sqrt(x^2+y^2)=i-4x-4iy $ da cui uguagliando parte reale e parte immaginaria ottieni
$sqrt(x^2+y^2)= -4x $ e quindi $ x $ deve essere $<=0 $
$1-4y=0$ che comporta $y=1/4 $ , sostituendo nella prima equazione
$ sqrt(x^2+1/16)=-4x $
quadrando ottengo
$x^2+1/16= 16x^2 rarr 15x^2=1/16 rarr x^2 = 1/(16*15)$ e quindi dovendo scegliere la radice negativa si ottiene
$x= -1/(4*sqrt(15)) $
In conclusione $ z = -1/(4*sqrt(15))+i/4)$
pongo $z=x+iy$
$sqrt(x^2+y^2)=i-4x-4iy $ da cui uguagliando parte reale e parte immaginaria ottieni
$sqrt(x^2+y^2)= -4x $ e quindi $ x $ deve essere $<=0 $
$1-4y=0$ che comporta $y=1/4 $ , sostituendo nella prima equazione
$ sqrt(x^2+1/16)=-4x $
quadrando ottengo
$x^2+1/16= 16x^2 rarr 15x^2=1/16 rarr x^2 = 1/(16*15)$ e quindi dovendo scegliere la radice negativa si ottiene
$x= -1/(4*sqrt(15)) $
In conclusione $ z = -1/(4*sqrt(15))+i/4)$
Ok, tutto ok!
Scusate per la "risposta" al ragionamento , ma più chiaro di così non si può!
La prossima volta saprò come "ragionare".
Grazie ancora ragazzi. Il topic si può bloccare.
Scusate per la "risposta" al ragionamento , ma più chiaro di così non si può!
La prossima volta saprò come "ragionare".
Grazie ancora ragazzi. Il topic si può bloccare.
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