Risoluzione equazione nel campo dei numeri complessi

[Leogio3601]

Salve a tutti, non riesco a capire il procedimento per risolvere l'equazione nei numeri complessi (dove z è un numero complesso)

$ (bar(z))^3 = |z| $

Riesco ad arrivare a

$ r^3 (cos(-3Theta)+isin(-3Theta)=r $

dopodichè mi blocco. qualcuno mi saprebbe aiutare? grazie in anticipo

[Palliit]

Ciao.
Prova a scrivere $z$ in forma esponenziale: $z=r*e^(i theta)$, l'equazione diventa: $r^3*e^(3i theta)=r*e^0$ ed il seguito è tutto in discesa.

[Leogio3601]

Ciao, intanto grazie per la risposta.
Al momento la forma esponenziale non è stata ancora affrontata dalla mia docente, quindi mi trovo a dover lavorare con la forma trigonometrica. Qualche consiglio per la risoluzione?

[Palliit]

Allora puoi innanzitutto constatare che una soluzione ovvia si ha per $r=0$; quindi dividi ambo i membri per $r$, scrivi anche l'$1$ che resta a secondo membro in forma trigonometrica e a questo punto imponi identità fra i moduli e che gli argomenti differiscano di $2kpi$.

Tra l'altro, solo per precisione, nel precedente messaggio avevo omesso un segno $-$ ad esponente al primo membro.

[Leogio3601]

ok praticamente dividendo entrambi i moduli per r mi ritrovo

$ r^2(cos(-3Theta)+isin(-3Theta)=1 $ che equivale a dire $ r^2(cos(-3Theta)+isin(-3Theta)=cos(2pi)+isin(2pi) $

quindi $ r=1 $ e $ cos(-3Theta)= cos(2pi) $ e $ sin(-3Theta)= sin(2pi) $

e di conseguenza $ Theta= 2/3pi $

ecco ora tu mi hai detto che dovrei aggiungere anche $ 2kpi $ non ne capisco il motivo (cioè so che sin e cos di un angolo sono periodici per $ 2pi $ però non capisco perchè in questo caso dovrei mettere $ 2kpi $

[Palliit]

$r^2[cos(-3theta)+i sin(-3theta)]=cos0+isin0$ da cui: $r^2=1$ e $-3theta=2kpi$ ;

considerando le limitazioni cui sono soggetti modulo ($r>=0$) ed argomento ($0<=theta<2pi$) di un numero complesso, hai:

$r=1$ e $theta=-2/3kpi$ con $k in ZZ$ tale da soddisfare la richiesta di cui sopra, quindi hai tre possibilità: $k_1=0$, $k_2=-1$ e $k_3=-2$, cui corrispondono rispettivamente $theta_1=0$, $theta_2=2/3pi$ e $theta_3=4/3pi$. Dai quali hai per $z$ tre diverse soluzioni. Che con la prima ($z=0$) fanno quattro.