Risoluzione equazione in campo complesso
Ciao a tutti,
non riesco a risolvere questa equazione in campo complesso, qualcuno potrebbe darmi una mano?
[tex]z|z| - 2z -i+1 = 0[/tex]
ho provato usando le coordinate polari in questo modo:
[tex]re^{i\phi}r - 2re^{i\phi} = i-1[/tex]
da cui ricavo:
[tex]r^2e^{i\phi} - 2re^{i\phi} = \sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}[/tex]
A questo punto raccolgo:
[tex](r^2 - 2r)e^{i\phi} = \sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}[/tex]
e cerco le soluzioni eguagliando modulo e argomento, per cui
[tex]\phi = \frac{3\pi}{4}} + 2k\pi[/tex]
e per quanto riguarda il modulo
[tex]r^2 - 2r - \sqrt{2} = 0[/tex]
dovrei risolvere l'equazione di secondo grado (questa volta reale) e le due soluzioni dovrebbero essere i moduli delle 2 soluzioni complesse.
La cosa non mi suona molto giusta anche perche' risolvendo ottengo soluzioni diverse da quella (giusta) del libro.
Ho provato anche a trasformare z in x+iy e svolgere tutti i conti ma diventa una cosa improponibile.
Qualcuno saprebbe dirmi il metodo corretto per risolvere questa equazione?
Grazie e scusate il disturbo
non riesco a risolvere questa equazione in campo complesso, qualcuno potrebbe darmi una mano?
[tex]z|z| - 2z -i+1 = 0[/tex]
ho provato usando le coordinate polari in questo modo:
[tex]re^{i\phi}r - 2re^{i\phi} = i-1[/tex]
da cui ricavo:
[tex]r^2e^{i\phi} - 2re^{i\phi} = \sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}[/tex]
A questo punto raccolgo:
[tex](r^2 - 2r)e^{i\phi} = \sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}[/tex]
e cerco le soluzioni eguagliando modulo e argomento, per cui
[tex]\phi = \frac{3\pi}{4}} + 2k\pi[/tex]
e per quanto riguarda il modulo
[tex]r^2 - 2r - \sqrt{2} = 0[/tex]
dovrei risolvere l'equazione di secondo grado (questa volta reale) e le due soluzioni dovrebbero essere i moduli delle 2 soluzioni complesse.
La cosa non mi suona molto giusta anche perche' risolvendo ottengo soluzioni diverse da quella (giusta) del libro.
Ho provato anche a trasformare z in x+iy e svolgere tutti i conti ma diventa una cosa improponibile.
Qualcuno saprebbe dirmi il metodo corretto per risolvere questa equazione?
Grazie e scusate il disturbo
Risposte
Più guardo i conti più non vedo errori, ma la tua soluzione risulta errata quando la testi?
Allora sbaglio qualcosa dopo (magari un errore banale ma non riesco proprio a trovarlo).
I passaggi che faccio sono questi:
[tex]r_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \sqrt{2}}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{2^2 (1 + \sqrt{2})}}{2} = \frac{2 \pm 2 (1 + \sqrt[4]{2})}{2} = 1 \pm (1 + \sqrt[4]{2})\\ \rightarrow r_1 = 2 + \sqrt[4]{2}\\ \rightarrow r_2 = - \sqrt[4]{2}[/tex]
Se riporto i due risultati nella forma [tex]x+iy[/tex], con la formula [tex]r(\cos \phi + i \sin \phi)[/tex] con [tex]\phi = \frac{3\pi}{4}[/tex] ottengo qualcosa di simile a questo:
[tex]2 + \sqrt[4]{2} (- \frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}})[/tex]
e
[tex]- \sqrt[4]{2} (- \frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}})[/tex]
svolgendo i conti non ottengo le soluzioni che riporta il libro.
Ripeto, ho sicuramente fatto errori banali sia di "conti" che (probabilmente) di impostazione dell'esercizio, ma da solo non riesco a trovarli
Grazie ancora per l'aiuto
I passaggi che faccio sono questi:
[tex]r_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \sqrt{2}}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{2^2 (1 + \sqrt{2})}}{2} = \frac{2 \pm 2 (1 + \sqrt[4]{2})}{2} = 1 \pm (1 + \sqrt[4]{2})\\ \rightarrow r_1 = 2 + \sqrt[4]{2}\\ \rightarrow r_2 = - \sqrt[4]{2}[/tex]
Se riporto i due risultati nella forma [tex]x+iy[/tex], con la formula [tex]r(\cos \phi + i \sin \phi)[/tex] con [tex]\phi = \frac{3\pi}{4}[/tex] ottengo qualcosa di simile a questo:
[tex]2 + \sqrt[4]{2} (- \frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}})[/tex]
e
[tex]- \sqrt[4]{2} (- \frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}})[/tex]
svolgendo i conti non ottengo le soluzioni che riporta il libro.
Ripeto, ho sicuramente fatto errori banali sia di "conti" che (probabilmente) di impostazione dell'esercizio, ma da solo non riesco a trovarli
Grazie ancora per l'aiuto
Trovato l'errore: [tex]$\sqrt{1+\sqrt2}\ne1+\sqrt[4]{2}$[/tex]
Volendo calcolarla devi determinare una espressione [tex]$a+2\sqrt{ab}+b=(\sqrt a+\sqrt b)^2=1+\sqrt2\iff\begin{cases}a+b=1\\ab=\frac{1}{2}\end{cases}$[/tex] cosicché[tex]$\sqrt a+\sqrt b=\sqrt{1+\sqrt2}$[/tex].
Lascio a te i conti
Volendo calcolarla devi determinare una espressione [tex]$a+2\sqrt{ab}+b=(\sqrt a+\sqrt b)^2=1+\sqrt2\iff\begin{cases}a+b=1\\ab=\frac{1}{2}\end{cases}$[/tex] cosicché[tex]$\sqrt a+\sqrt b=\sqrt{1+\sqrt2}$[/tex].
Lascio a te i conti
Scusa ma mi sono di nuovo fermato nello svolgimento dei calcoli.
Se risolvo il sistema
[tex]a+2\sqrt{ab}+b=(\sqrt a+\sqrt b)^2=1+\sqrt2\iff\begin{cases}a+b=1\\ ab=\frac{1}{2}\end{cases}[/tex]
ottengo 2 soluzioni per a e b che sono numeri complessi perche' il delta viene negativo.
[tex]\begin{cases}a = \frac{1 - i}{2}\\ b=\frac{1 + i}{2}\end{cases} \begin{cases}a = \frac{1 + i}{2}\\ b=\frac{1 - i}{2}\end{cases}[/tex]
Visto che r e' il modulo non dovrebbe essere un numero reale?
Poi visto che ho 2 soluzioni che devo sostituire in un'equazione che ha gia' due soluzioni cioe':
[tex]1 \pm \sqrt{a} + \sqrt{b}[/tex]
come le sostituisco?
Mi sono proprio arenato!
Grazie per la pazienza!
Se risolvo il sistema
[tex]a+2\sqrt{ab}+b=(\sqrt a+\sqrt b)^2=1+\sqrt2\iff\begin{cases}a+b=1\\ ab=\frac{1}{2}\end{cases}[/tex]
ottengo 2 soluzioni per a e b che sono numeri complessi perche' il delta viene negativo.
[tex]\begin{cases}a = \frac{1 - i}{2}\\ b=\frac{1 + i}{2}\end{cases} \begin{cases}a = \frac{1 + i}{2}\\ b=\frac{1 - i}{2}\end{cases}[/tex]
Visto che r e' il modulo non dovrebbe essere un numero reale?
Poi visto che ho 2 soluzioni che devo sostituire in un'equazione che ha gia' due soluzioni cioe':
[tex]1 \pm \sqrt{a} + \sqrt{b}[/tex]
come le sostituisco?
Mi sono proprio arenato!
Grazie per la pazienza!
Veramente viene un'unica soluzione; la "[tex]$a$[/tex]" del primo caso coincide con la "[tex]$b$[/tex]" del secondo caso e viceversa.
Calcolando le loro radici quadrate e sommandole non ti viene un numero reale?
Attenzione che il modulo ti verrebbe [tex]$1\pm(\sqrt{a}+\sqrt{b})$[/tex].
P.S.: Se manco così funzionasse puoi sempre provare a ripetere il ragionamento con [tex]$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=1+\sqrt2$[/tex]; è la mia ultima carta!
Calcolando le loro radici quadrate e sommandole non ti viene un numero reale?
Attenzione che il modulo ti verrebbe [tex]$1\pm(\sqrt{a}+\sqrt{b})$[/tex].
P.S.: Se manco così funzionasse puoi sempre provare a ripetere il ragionamento con [tex]$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=1+\sqrt2$[/tex]; è la mia ultima carta!
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