Risoluzione equazione in campo complesso

[ton32]

Buonasera a tutti!
Sto trovando difficoltà a risolvere la seguente equazione in campo complesso..
$-i(z-bar(z))|z|=z*bar(z)$

Ponendo $z=x+iy$ non ottengo il risultato corretto quindi non credo che sia corretto svolgerla utilizzando questo modo.

Ho pensato di svolgerla riscrivendo il tutto in forma esponenziale, ma anche qui non capisco come procedere..
In forma esponenziale:
$-i=(cos(3pi/2)+i sin(3pi/2))$

$z=rho (costheta+isintheta)$

$z=rho (cos(-theta)+isin(-theta))$

$|z|=rho$

quindi si ha (se non sbaglio )
$(cos(3pi/2)+i sin(3pi/2))*rho^2*(cos2theta+isin2theta)=rho^2$

corretto fin qui?

Ringrazio in anticipo chi mi aiuterà

[ingres]

"ton32":Ponendo z=x+iy non ottengo il risultato corretto quindi non credo che sia corretto svolgerla utilizzando questo modo.

Quella rappresentazione, se usata correttamente, deve portare al risultato corretto (al limite con maggiore sforzo).
Siccome avrei detto che porre z=x+iy fosse la strada più semplice in questo caso, prova a postare i conti che hai fatto.

[ton32]

ok allora

$|z|=sqrt(x^2+y^2)$;
$z=x+iy$;
$barz=x-iy$;

dunque
$-i*(x+iy-x+iy)*(sqrt(x^2+y^2))=x^2+y^2$
$-i*(2iy)*(sqrt(x^2+y^2))=x^2+y^2$
$2y*(sqrt(x^2+y^2))=x^2+y^2$
a questo punto posto $x^2+y^2>=0$ elevo al quadrato entrambe i membri ed ottengo

$4y^2*(x^2+y^2)=x^4+y^4+2x^2y^2$

[ton32]

fino a qui direi che sia tutto corretto.. per risolvere l'equazione come devo procedere?

[ingres]

Mi semplificherei prima un poco l'espressione partendo da $2ysqrt(x^2+y^2)=x^2+y^2$
Ovviamente x=y=0 ovvero z=0 è una soluzione.

A questo punto cerco le soluzioni per cui $x ne 0$ oppure $y ne 0$. In tal caso posso semplificare e ottenere:

$2y=sqrt(x^2+y^2)$

Quindi ....

Nota: attenzione negli elevamenti al quadrato perchè possono creare soluzioni che non soddisfano l'equazione originale. Nel nostro caso ad es. andranno bene solo soluzioni per cui $y ge 0$.

[Mephlip]

Senza elevare al quadrato, che non è equivalente perché $y$ non è necessariamente non negativo, puoi notare che $x^2+y^2=(\sqrt{x^2+y^2})^2$ e quindi:
$$\left[2y\sqrt{x^2+y^2}=x^2+y^2\right]\iff \left[2y\sqrt{x^2+y^2}=\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^2\right]$$
$$\iff \left[\sqrt{x^2+y^2}\left(2y-\sqrt{x^2+y^2}\right)=0\right]$$
Ma non è che tutto ciò sia molto sensato, perché $\sqrt{x^2+y^2}=|z|$. Quindi, tanto vale notare fin da subito che $z \bar z=|z|^2$ e non passare in forma algebrica.

[gugo82]

Come dico ai miei studenti, prima di buttarvi a capofitto nei conti -per lo più inutili- guardate le equazioni.

È chiaro come il sole che $z=0$ è soluzione, quindi basta cercare le soluzioni $!=0$.
Dato che $z*bar(z) =|z|^2$ e che $z!=0$, si può semplificare per $|z|$, ottenendo:

$-i(z-bar(z)) = |z|$;

d'altra parte, $-i(z - bar(z)) = 2"Im"(z)$, sicché la precedente diventa:

$2"Im" (z) = |z|$

da cui segue $"Im"(z) > 0$.
Ora i conti in forma algebrica sono molto semplici: il modulo $|z| =sqrt(x^2 + y^2)$ è uguale a $2"Im"(z) = 2y >0$ solo se $x^2 = 3y^2$, i.e. solo se:

$|x| = sqrt(3) y\ <=>\ y = sqrt(3)/3 |x|$

con $x in RR \setminus \{ 0\}$.
Quindi le soluzioni sono tutti e soli i numeri che soddisfano:

$"Im"(z) = sqrt(3)/3 |"Re"(z)|$

o equivalentemente $z=0$ oppure:

$|"Arg"(z) - pi/2| = pi/3 \ <=>\ "Arg"(z) = pi/6, 5/6 pi$.

[ton32]

Gentilissimi ho capito Grazie mille!!