Risoluzione Equazione Generatrice

[andre085]

Ciao, sono un nuovo iscritto, avrei bisogno di una mano per la risoluzione della seguente equazione di ricorrenza:
{ $a_n+2$}=2$a_n+1$-$a_n$
con
$a_0=1$ e $a_1=2$

da questo ottengo la seguente funzione:

$f(x)=1/(1-2x-x^2)$

Da qui come posso risolvere l'equazione??? HELP

[andre085]

se serve inserisco i passaggi

Ciao

[ciampax]

Nel senso, vuoi trovare la forma chiusa che definisce gli $a_n$? Bé, scrivi la serie di taylor della funzione $f(x)$ e ricordati che $a_n={f^{(k)}(0)}/{k!}$

[andre085]

si esatto è proprio li che mi blocco, per scomporre la funzione generatrice in modo da ottenere qualcosa riconducibile ad una serie di potenze...

[ciampax]

Bé, il polinomio $1-2x-x^2$ ha radici $x=-1\pm\sqrt{2}$ e pertanto vale la decomposizione

$1/{1-2x-x^2}=1/{-(x+1+\sqrt{2})(x+1-\sqrt{2})}=A/{\sqrt{2}-1-x}+B/{\sqrt{2}+1+x}$

con i coefficienti $A,B$ Incogniti. essendo anche vero che

$1=A(\sqrt{2}+1+x)+B(\sqrt{2}-1-x)$ segue $A=B=1/{2\sqrt{2}}$

pertanto puoi scrivere

$1/{1-2x-x^2}=1/{2\sqrt{2}}(1/{\sqrt{2}-1-x}+1/{\sqrt{2}+1+x})=1/{2\sqrt{2}}(1/{(\sqrt{2}-1)(1-x/{\sqrt{2}-1})}+1/{(\sqrt{2}+1)(1+x/{\sqrt{2}+1})})=$

$=1/{2\sqrt{2}}(1/{\sqrt{2}-1}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(x/{\sqrt{2}-1})^n+1/{\sqrt{2}+1}\sum_{n=0}^\infty (x/{\sqrt{2}+1})^n)=$

$=\sum_{n=0}^\infty [ 1/{2\sqrt{2} }( {(-1)^n}/(\sqrt{2}-1)^{n+1}+{1}/(\sqrt{2}+1)^{n+1})] x^n$

pertanto

$a_n=1/{2\sqrt{2} }( {(-1)^n}/(\sqrt{2}-1)^{n+1}+{1}/(\sqrt{2}+1)^{n+1})={(\sqrt{2}-1)^{n+1}+(-1)^n(\sqrt{2}+1)^{n+1}}/{2\sqrt{2}}$

P.S.: usando il binomio di Newton, puoi semplificare ulteriormente l'espressione.

[andre085]

Grazie mille!!! tutto chiaroooo