Risoluzione equazione differenziale di secondo grado...
Salve a tutti!
Sono nuovo del forum e colgo l'occasione per complimentarmi per il sito in generale molto curato e istruttivo (come pochi). Sto preparando l'esame di analisi I (frequento la facoltà di ingegneria energetica all'università di Pisa) e negli esercizi ho incontrato una equazione differenziale di secondo grado che non rientra nei casi trattati dal mio libro. In particolare si tratta dell'equazione y'' - y = 2 + e^x.
Sul mio libro di analisi è trattato il caso della funzione y'' - ay' + by = p(x) con p(x) = Ae^alfa x. Qualcuno può darmi delucidazioni in merito? Come posso procedere?
Ciò che mi turba è la presenza del termine noto "2"...
Grazie a tutti! Spero di colmare questa mia lacuna grazie a voi
Sono nuovo del forum e colgo l'occasione per complimentarmi per il sito in generale molto curato e istruttivo (come pochi). Sto preparando l'esame di analisi I (frequento la facoltà di ingegneria energetica all'università di Pisa) e negli esercizi ho incontrato una equazione differenziale di secondo grado che non rientra nei casi trattati dal mio libro. In particolare si tratta dell'equazione y'' - y = 2 + e^x.
Sul mio libro di analisi è trattato il caso della funzione y'' - ay' + by = p(x) con p(x) = Ae^alfa x. Qualcuno può darmi delucidazioni in merito? Come posso procedere?
Ciò che mi turba è la presenza del termine noto "2"...
Grazie a tutti! Spero di colmare questa mia lacuna grazie a voi

Risposte
Non vedo cosa ci sia di strano, diciamo che hai nel membro di destra, hai una funzione somma di un polinomio di grado zero più la funzione esponenziale, quindi la soluzione particolare sarà dello stesso tipo;
Attento però quando imposti la soluzione particolare [tex]\bar{y}[/tex] , guarda bene la soluzione dell'omogenea prima..
Attento però quando imposti la soluzione particolare [tex]\bar{y}[/tex] , guarda bene la soluzione dell'omogenea prima..

Siccome una radice della soluzione dell'omogenea coincide con l'alfa dell'esponenziale la soluzione sarebbe: y = Bxe^x giusto?
Ricordati del principio di sovrapposizione per le equazioni differenziali lineari. Che cos'è e perché ti permette di ricondurti alle due equazioni
$y''-y=2$,
$y''-y=e^x$?
Cerca sul tuo libro di analisi se non ci arrivi da solo. Per un ingegnere come te questa è una proprietà molto importante dei sistemi lineari con cui ti conviene familiarizzare.
$y''-y=2$,
$y''-y=e^x$?
Cerca sul tuo libro di analisi se non ci arrivi da solo. Per un ingegnere come te questa è una proprietà molto importante dei sistemi lineari con cui ti conviene familiarizzare.
"Gianfreda":
Siccome una radice della soluzione dell'omogenea coincide con l'alfa dell'esponenziale la soluzione sarebbe: y = Bxe^x giusto?
Esatto, più l'altra costante, segui il consiglio di dissonance, per noi futuri ingegneri è importante

Ho controllato sul libro di analisi ma non ho trovato nessun principio di sovrapposizione. Potete spiegarmelo un pò più nel dettaglio? Grazie mille per le vostre risposte...
@ Angelo: l'altra costante sarebbe il 2 vero? L'equazione che ho scritto fa parte di un problema di Cauchy. Dunque, dopo esser giunto alla soluzione dell'equazione omogenea posso sommare Bxe^x + 2? Dimmi se sbaglio qualcosa per favore...
@ Angelo: l'altra costante sarebbe il 2 vero? L'equazione che ho scritto fa parte di un problema di Cauchy. Dunque, dopo esser giunto alla soluzione dell'equazione omogenea posso sommare Bxe^x + 2? Dimmi se sbaglio qualcosa per favore...
No, la soluzione particolare contiene termini simili, cioè diversi solo per le costanti, quindi dovrà essere:
[tex]\bar{y} = A + Bxe^x[/tex]
Se nel membro di destra avessi avuto..
[tex]\mbox{. .} = x + e^x[/tex]
La soluzione particolare sarebbe stata:
[tex]\bar{y} = Ax + B + Cxe^x[/tex]
E così via.. spero che il concetto sia chiaro.
[tex]\bar{y} = A + Bxe^x[/tex]
Se nel membro di destra avessi avuto..
[tex]\mbox{. .} = x + e^x[/tex]
La soluzione particolare sarebbe stata:
[tex]\bar{y} = Ax + B + Cxe^x[/tex]
E così via.. spero che il concetto sia chiaro.
Ok ora ho capito! Grazie mille
Comunque per il principio di sovrapposizione? Su internet non ho trovato granchè perchè, essendo tanto usato anche in altre discipline, non ho trovato qualche esempio chiaro riguardo all'applicazione di tale principio alle equazioni differenziali...

Ora stavo cercando di risolvere un'altra equazione differenziale simile alla prima. Si tratta dell'equazione: $ y'' - y' = 1 + e^x$ .
Al contrario della prima, qui il coefficiente "a" della derivata prima è diverso da zero, mentre il coefficiente "b" del termine in y è uguale a 0. Quando risolvo l'omogenea e sostituisco a y'' e y' rispettivamente la soluzione $ y'' = B (2e^x + xe^x) $ e $ y' " B (e^x + xe^x) $ uguagliandole al secondo membro 1 + e^x ovviamente non ottengo il termine in A che viene eliminato con la derivata prima essendo un costante. Come devo comportarmi in questo caso?
Spero di essermi spiegato...
Al contrario della prima, qui il coefficiente "a" della derivata prima è diverso da zero, mentre il coefficiente "b" del termine in y è uguale a 0. Quando risolvo l'omogenea e sostituisco a y'' e y' rispettivamente la soluzione $ y'' = B (2e^x + xe^x) $ e $ y' " B (e^x + xe^x) $ uguagliandole al secondo membro 1 + e^x ovviamente non ottengo il termine in A che viene eliminato con la derivata prima essendo un costante. Come devo comportarmi in questo caso?
Spero di essermi spiegato...