Risoluzione equazione di terzo grado con sviluppo in serie di McLaurin al terzo ordine?
Ciao a tutti,
dovrei risolvere l'equazione di terzo grado che vedete nell'immagine in allegato, nella quale la variabile è csi. Il mio professore mi ha detto di risolverla con lo sviluppo in serie di McLaurin al terzo ordine. Ho provato a risolverla ma non ci riesco. Potete aiutarmi a trovare una soluzione?
Grazie mille in anticipo
dovrei risolvere l'equazione di terzo grado che vedete nell'immagine in allegato, nella quale la variabile è csi. Il mio professore mi ha detto di risolverla con lo sviluppo in serie di McLaurin al terzo ordine. Ho provato a risolverla ma non ci riesco. Potete aiutarmi a trovare una soluzione?
Grazie mille in anticipo
Risposte
Si però dipende dal significato delle altre lettere...
cioè $E^\star$, $\rho^\star$ ed $\bar \eta_k'$ sono costanti? sono funzioni? sono successioni? sono interi? reali? complessi?
inoltre l'immagine è tagliata... finisce con $(1-E^\star)$ ?? o continua?
P.s
Benvenuto sul forum
cioè $E^\star$, $\rho^\star$ ed $\bar \eta_k'$ sono costanti? sono funzioni? sono successioni? sono interi? reali? complessi?
inoltre l'immagine è tagliata... finisce con $(1-E^\star)$ ?? o continua?
P.s
Benvenuto sul forum
Grazie per aver risposto! E⋆ e ρ⋆ sono delle costanti, mentre η¯k' è la funzione. L'immagine in realtà continua, la rimetto in allegato.
Mmmmh... se quelle sono costanti allora tu hai un'equazione del tipo :
$$
a\xi^3+b\xi^2+c\xi+d=0
$$
dove $a,b,c,d$ sono quei coefficienti che moltiplicano le varie potenze di $\xi$ ...
Ora ad essere onesto a mio avviso o questa equazione va inserita in un qualche contesto, altrimenti quello che ti ha detto il tuo professore a mio avviso (qualcuno mi corregga se sbaglio) non ha il minimo senso... perché quello è un polinomio di terzo grado... e lo sviluppo di McLaurin di un polinomio di terzo grado ti fa ottenere lo stesso identico polinomio... quindi con Mclaurin non risolvi un bel niente... è più probabile che $\bar\eta'_K$ fosse una funzione di qualche tipo e che il polinomio che hai scritto sia lo sviluppo di Mclaurin al terz'ordine di tale funzione...
In ogni caso abbandonando il signor Mclaurin arriva in tuo soccorso Tartaglia ... infatti esiste una formula risolutiva per i polinomi di terzo grado ovvero:
$$
\xi_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{b}{3a}
\\
\xi_2=\omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{b}{3a}
\\
\xi_3=\omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{b}{3a}
$$
dove $$p=\frac{3ac-b^2}{3a^2}$$ mentre $$q=\frac{2b^3-9abc+27a^3d}{27a^3}$$ invece $\omega$ è un numero complesso e vale $$\omega=-\frac 12 + i\frac{\sqrt{3}}{2}$$ infatti un polinomio di grado dispari ammette sempre almeno una radice reale mentre le altre due soluzione possono essere reali o complesse a seconda dei coefficienti, in particolare a seconda che il discriminante delle radici quadrate contenute nelle soluzioni sia positivo negativo o nullo...
In sostanza ti aspettano parecchi conti ma alla soluzione(o soluzioni) ci arrivi... anche se forse prima di buttarsi in questi calcoli infiniti si potrebbe cercare di fare qualche raccoglimento.
In ogni caso se provi a spiegare il contesto di questa equazione si può cercare di capire cosa intendesse il tuo professore...
$$
a\xi^3+b\xi^2+c\xi+d=0
$$
dove $a,b,c,d$ sono quei coefficienti che moltiplicano le varie potenze di $\xi$ ...
Ora ad essere onesto a mio avviso o questa equazione va inserita in un qualche contesto, altrimenti quello che ti ha detto il tuo professore a mio avviso (qualcuno mi corregga se sbaglio) non ha il minimo senso... perché quello è un polinomio di terzo grado... e lo sviluppo di McLaurin di un polinomio di terzo grado ti fa ottenere lo stesso identico polinomio... quindi con Mclaurin non risolvi un bel niente... è più probabile che $\bar\eta'_K$ fosse una funzione di qualche tipo e che il polinomio che hai scritto sia lo sviluppo di Mclaurin al terz'ordine di tale funzione...
In ogni caso abbandonando il signor Mclaurin arriva in tuo soccorso Tartaglia ... infatti esiste una formula risolutiva per i polinomi di terzo grado ovvero:
$$
\xi_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{b}{3a}
\\
\xi_2=\omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{b}{3a}
\\
\xi_3=\omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{b}{3a}
$$
dove $$p=\frac{3ac-b^2}{3a^2}$$ mentre $$q=\frac{2b^3-9abc+27a^3d}{27a^3}$$ invece $\omega$ è un numero complesso e vale $$\omega=-\frac 12 + i\frac{\sqrt{3}}{2}$$ infatti un polinomio di grado dispari ammette sempre almeno una radice reale mentre le altre due soluzione possono essere reali o complesse a seconda dei coefficienti, in particolare a seconda che il discriminante delle radici quadrate contenute nelle soluzioni sia positivo negativo o nullo...
In sostanza ti aspettano parecchi conti ma alla soluzione(o soluzioni) ci arrivi... anche se forse prima di buttarsi in questi calcoli infiniti si potrebbe cercare di fare qualche raccoglimento.
In ogni caso se provi a spiegare il contesto di questa equazione si può cercare di capire cosa intendesse il tuo professore...
Sono d'accordo con te per quanto riguarda lo sviluppo di McLaurin. Ho provato già a risolvere l'equazione con Tartaglia, ma dovrei fare dei calcoli lunghissimi! Magari proverò a chiedere al mio professore cosa intendesse dire.
Grazie mille ancora per la tua risposta!
Grazie mille ancora per la tua risposta!
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