Risoluzione equazione complessa difficile

[francesco.gazzola.18]

Qualche giorno fa ho dato l'esame di analisi 1 ed il primo esercizio prevedeva:

data l'equazione $ z^3=ie^(-|z|)$
a) determinare il numero delle soluzioni che hanno modulo<1;
b) determinare il numero delle soluzioni che hanno parte immaginaria <0;

Non avendo mai visto niente del genere non l'ho risolta anche perchè non sapevo da dove iniziare. Qualcuno potrebbe perfavore spiegarmi come si avrebbe dovuto risolverla?

[jitter1]

Cavoli mi sembra bella tosta... ma divertente (se non sei all'esame )! Ho provato, ma mi viene impossibile, quindi ho sbagliato. Metto in ogni caso in spoiler il procedimento perché son curiosa di vedere dove sta l'errore e se l'idea può andare.

$ z = \rho e^(i \theta) $

$i = e^(ipi/2)$

$ e^(-|z|)=e^-\rho $

$ z^3 = e^(ipi/2-\rho) $

$ \rho^3 e^(3i \theta) = e^(ipi/2-\rho) $

$ \rho^3 = e^(ipi/2-\rho-3i \theta) $

A sinistra ho un valore reale, quindi devo averlo anche a destra. I valori reali sono quelli che si possono scrivere come $ e^(ikpi) $ , perciò:

$e^(ipi/2-\rho-3i \theta) = e^(ikpi) $

$ipi/2-\rho-3i \theta = ikpi $

$ i(pi/2-3\theta-kpi)-\rho = 0 $

$\rho = 0$ ops...

[dott.ing1]

Valuta le radici cubiche del membro di destra, scritto come $\e^-\rho\e^(i\pi/2)$ (o lascia $i\e^-rho$ se ti trovi più comodo).

Non puoi esprimere in forma esatta il modulo di queste radici, almeno non con gli strumenti di analisi 1, ma non ti serve. Con una semplice osservazione puoi valutarne l'intervallo di appartenenza.
Determinate poi le tre fasi, le soluzioni che soddisfano la richiesta b) sono quelle per cui $\thetain(-pi,0)$.

[francesco.gazzola.18]

dott.ing la ringrazio per la risposta ma non riesco a capire ancora in che modo risolverla. Come ha detto lei ho provato:
$p^3e^(3iθ)=e^(−ρ)e^(i(π/2))$

${(p^3=1),(θ=π/6-1/3+2kπ):}$

ma l'angolo è sempre compreso tra $0$ e $ π $

[Palliit]

Noto che l'esercizio non richiede di trovarle, le soluzioni.

Dalla forma esponenziale: $rho^3*e^(3i theta)=e^(-rho)*e^(pi/2 i)$

possiamo, vista la consegna, iniziare col limitarci a considerare la relazione tra i moduli dei due membri, ottenendo:

$rho^3=e^(-rho)$

equazione non risolvibile elementarmente ma di cui un'interpretazione grafica abbastanza immediata evidenzia un'unica soluzione compresa tra $0$ ed $1$. Salvo miei errori.

Dalla relazione tra gli esponenti immaginari: $3 theta=pi/2+2k pi$__$to$__$theta=pi/6+k (2 pi)/3$

si deduce poi un numero definito di valori ammessi per l'anomalia $theta$ (e dunque altrettante soluzioni con modulo minore di $1$), tra i quali contare quelli che soddisfano la richiesta (b).