Risoluzione equazione
Buongiorno,
sto trovando davvero molte difficoltà nel risolvere la seguente equazione:
$ J(x,v,u)=sum_(i=1)^c sum_(j = 1)^gu_(ij)^w sum_(k=1)^n((v_(i(k+1))-v_(ik))/(t_(k+1)-t_k)-(x_(i(k+1))-x_(ik))/(t_(k+1)-t_k))^2 $
Quello che credo di dover fare è differenziare parzialmente rispetto a $ v_(ik) $ , porre uguale a zero, ossia trovare il minimo della funzione e poi ricavare l'espressione per $ v_(ik) $.
Lo scopo in ogni caso è trovare la funzione v che minimizza la funzione J.
sia x che v sono funzioni di t.
Quello che so è che l'espressione finale per $ v_(ik) $ dev'essere indipendente da i, per cui lo posso fissare e elimino la rispettiva sommatoria.
Dunque la reale equazione da derivare ecc è:
$ J(x,v,u)=sum_(j = 1)^gu_(ij)^w sum_(k=1)^n((v_(i(k+1))-v_(ik))/(t_(k+1)-t_k)-(x_(i(k+1))-x_(ik))/(t_(k+1)-t_k))^2 $
Se derivo parzialmente per $ v_(ik) $, devo considerare tutto costante tranne i termini v, giusto? e mentre il termine $v_(ik)$ derivato fa 1, quello $v_(i(k+1))$ risulta delta di kronecker oppure li riscrivo come $ (v_(i(k+1))-v_(ik))/(v_(ik)-v_(i(k-1))) $ ?
e cmq a parte questo passaggio che risulta relativamente semplice, una volta calcolata la derivata mi blocco e non so come andare avanti. Non riesco a ricavarmi l'equazione in funzione di $v_(ik)$.
qualcuno mi può aiutare spiegandomi i passaggi?
grazie
sto trovando davvero molte difficoltà nel risolvere la seguente equazione:
$ J(x,v,u)=sum_(i=1)^c sum_(j = 1)^gu_(ij)^w sum_(k=1)^n((v_(i(k+1))-v_(ik))/(t_(k+1)-t_k)-(x_(i(k+1))-x_(ik))/(t_(k+1)-t_k))^2 $
Quello che credo di dover fare è differenziare parzialmente rispetto a $ v_(ik) $ , porre uguale a zero, ossia trovare il minimo della funzione e poi ricavare l'espressione per $ v_(ik) $.
Lo scopo in ogni caso è trovare la funzione v che minimizza la funzione J.
sia x che v sono funzioni di t.
Quello che so è che l'espressione finale per $ v_(ik) $ dev'essere indipendente da i, per cui lo posso fissare e elimino la rispettiva sommatoria.
Dunque la reale equazione da derivare ecc è:
$ J(x,v,u)=sum_(j = 1)^gu_(ij)^w sum_(k=1)^n((v_(i(k+1))-v_(ik))/(t_(k+1)-t_k)-(x_(i(k+1))-x_(ik))/(t_(k+1)-t_k))^2 $
Se derivo parzialmente per $ v_(ik) $, devo considerare tutto costante tranne i termini v, giusto? e mentre il termine $v_(ik)$ derivato fa 1, quello $v_(i(k+1))$ risulta delta di kronecker oppure li riscrivo come $ (v_(i(k+1))-v_(ik))/(v_(ik)-v_(i(k-1))) $ ?
e cmq a parte questo passaggio che risulta relativamente semplice, una volta calcolata la derivata mi blocco e non so come andare avanti. Non riesco a ricavarmi l'equazione in funzione di $v_(ik)$.
qualcuno mi può aiutare spiegandomi i passaggi?
grazie
Risposte
'
Hai poco da fare quella faccia, non mi meraviglio che nessuno risponda visto che non si capisce niente di quello che scrivi.
Quella cosa che hai scritto non è un'equazione, tanto per cominciare.
Hai scritto che \(v\) è funzione di \(t\), e allora cos'è \(v_{ik}\)?
Il resto non è meno incomprensibile.
Quella cosa che hai scritto non è un'equazione, tanto per cominciare.
Hai scritto che \(v\) è funzione di \(t\), e allora cos'è \(v_{ik}\)?
Il resto non è meno incomprensibile.
Dato che non si capisce, riaggiusto e semplifico.
Devo trovare la funzione v che minimizza questa funzione:
$ J(x,v,u)=sum_(j = 1)^g u_(j)^w sum_(k=1)^n((v_((k+1))-v_(k))/(t_(k+1)-t_k)-(x_(j(k+1))-x_(jk))/(t_(k+1)-t_k))^2 $
sia x che v sono funzioni discrete di t.
ogni v_k è un valore della funzione v
qualcuno mi può aiutare spiegandomi i passaggi?
meglio?
Devo trovare la funzione v che minimizza questa funzione:
$ J(x,v,u)=sum_(j = 1)^g u_(j)^w sum_(k=1)^n((v_((k+1))-v_(k))/(t_(k+1)-t_k)-(x_(j(k+1))-x_(jk))/(t_(k+1)-t_k))^2 $
sia x che v sono funzioni discrete di t.
ogni v_k è un valore della funzione v
qualcuno mi può aiutare spiegandomi i passaggi?
meglio?
Mmm... Per funzione discreta intendi dire che \(v_k = v(t_k)\) per certi \(t_k\)?
"Raptorista":
Mmm... Per funzione discreta intendi dire che \(v_k = v(t_k)\) per certi \(t_k\)?
si, v così come x sono polilinee o spezzate
Ok, ora è tutto un po' più chiaro. Sono tutte somme finite, quindi è un problema di ottimizzazione in dimensione finita. Mettiti a fare derivate con molta pazienza.
[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]
[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]
si, le derivate già le ho fatte… il risultato che mi esce è:
$ sum_(k=1)^n (v_(k+1)-v_k)/(t_(k+1)-t_k)=(sum_(j=1)^g u_(j)^w sum_(k=1)^n(x_(jk+1)-x_(jk))/(t_(k+1)-t_k))/(sum_(j=1)^g u_j^w) $
il problema è:
c'è un modo per poter scrivere v_k = ecc?
o meglio ancora v(n)=?
con n numero dei punti della spezzata
$ sum_(k=1)^n (v_(k+1)-v_k)/(t_(k+1)-t_k)=(sum_(j=1)^g u_(j)^w sum_(k=1)^n(x_(jk+1)-x_(jk))/(t_(k+1)-t_k))/(sum_(j=1)^g u_j^w) $
il problema è:
c'è un modo per poter scrivere v_k = ecc?
o meglio ancora v(n)=?
con n numero dei punti della spezzata
Quella è la derivata rispetto a cosa? A naso direi che la sommatoria su \(k\) deve sparire.
Ho seguito questo iter, in cui d_ik è ovviamente la terza sommatoria con tutto quello tra parentesi nella relazione iniziale.
Il semplice x-v a me è quella sommatoria di differenze di coefficienti angolari.
seguendo pedissequamente quanto scritto nell'immagine, mi ritrovo con una relazione che con un semplice cambio di ordine dei membri scrivo come riportato nel post precedente. E sebbene anche io sia dell'avviso che la sommatoria in qualche modo prima o poi debba scomparire, non riesco a trovare il modo.
Il semplice x-v a me è quella sommatoria di differenze di coefficienti angolari.
seguendo pedissequamente quanto scritto nell'immagine, mi ritrovo con una relazione che con un semplice cambio di ordine dei membri scrivo come riportato nel post precedente. E sebbene anche io sia dell'avviso che la sommatoria in qualche modo prima o poi debba scomparire, non riesco a trovare il modo.
up
Non ho letto la pagina perché non posso adesso, però ciascun \(v_\hat k\) compare in solo due termini della sommatoria su k, quindi prima di fare la derivata puoi sostituire la sommatoria con la somma esplicita di solo quei due termini.
"Raptorista":
Non ho letto la pagina perché non posso adesso, però ciascun \(v_\hat k\) compare in solo due termini della sommatoria su k, quindi prima di fare la derivata puoi sostituire la sommatoria con la somma esplicita di solo quei due termini.
raptorista non credo di averti capito. Sebbene nel pezzo in sommatoria ci siano solo 2 termini con v_k e v_(k+1), la sommatoria va da 1 a n...come faccio a sostituirla con soli due termini...e seppure tu volessi fare un qualche tipo di approssimazione, non capisco come tu abbia tenuto conto dell'elevazione a quadrato dell'intera parentesi...
Se vuoi fare la derivata di quella sommatoria rispetto ad un generico $v_k$ allora puoi buttare via fin dall'inizio tutti i termini che non contengono $v_k$. Non sei d'accordo? Prova a fare la derivata rispetto a $v_2$ con $n=4$ e vedrai.
"Raptorista":
Se vuoi fare la derivata di quella sommatoria rispetto ad un generico $v_k$ allora puoi buttare via fin dall'inizio tutti i termini che non contengono $v_k$. Non sei d'accordo? Prova a fare la derivata rispetto a $v_2$ con $n=4$ e vedrai.
non son d'accordo, perché la derivata di x^2 è 2xdx , quindi se faccio la derivata di quella parentesi, mi verrà 2 (roba tra parentesi)*(la derivata di v_k rispetto a se stesso che è 1)
quindi le v le x e tutto quello in parentesi mi rimane… o no?
Inoltre la derivata passa dentro la sommatoria, quindi anche dopo aver derivato la sommatoria resta
Credo di aver capito dove stai sbagliando... Hai provato a fare il conto che ti ho detto prima?
Scrivi come fai la derivata rispetto ad un $v_k$.
Scrivi come fai la derivata rispetto ad un $v_k$.
Allora
derivo la seguente funzione per v_k e pongo uguale a 0:
$ J(x,v,u)=sum_(j = 1)^g u_(j)^w sum_(k=1)^n((v_((k+1))-v_(k))/(t_(k+1)-t_k)-(x_(j(k+1))-x_(jk))/(t_(k+1)-t_k))^2 $
$ sum_(j=1)^g u_j^w sum_(k=1)^n 2((v_((k+1))-v_(k))/(t_(k+1)-t_k)-(x_(j(k+1))-x_(jk))/(t_(k+1)-t_k))*(1/(t_(k+1)-t_k))=0 $
questo perchè nè t ne x dipendono da v, v_k rispetto a se stesso fa 1 facendo restare solo il denominatore e v_k+1 rispetto a v_k dovrebbe fare la delta di kronecker e poiché $ k \ne k+1 \forall k $, si azzera.
Da qui elimino il 2, eseguo la moltiplicazione e inverto le sommatorie, ottenendo:
$ sum_(k=1)^n (sum_(j=1)^g u_j^w (v_((k+1))-v_(k))/(t_(k+1)-t_k)^2- sum_(j=1)^g u_j^w (x_(j(k+1))-x_(jk))/(t_(k+1)-t_k)^2))=0 $
da cui separo e porto all'altro membro:
$ sum_(k=1)^n (v_((k+1))-v_(k))/(t_(k+1)-t_k)^2=(sum_(k=1)^n sum_(j=1)^g u_j^w (x_(j(k+1))-x_(jk))/(t_(k+1)-t_k)^2)/(sum_(j=1)^g u_j^w)=0 $
e ora?
derivo la seguente funzione per v_k e pongo uguale a 0:
$ J(x,v,u)=sum_(j = 1)^g u_(j)^w sum_(k=1)^n((v_((k+1))-v_(k))/(t_(k+1)-t_k)-(x_(j(k+1))-x_(jk))/(t_(k+1)-t_k))^2 $
$ sum_(j=1)^g u_j^w sum_(k=1)^n 2((v_((k+1))-v_(k))/(t_(k+1)-t_k)-(x_(j(k+1))-x_(jk))/(t_(k+1)-t_k))*(1/(t_(k+1)-t_k))=0 $
questo perchè nè t ne x dipendono da v, v_k rispetto a se stesso fa 1 facendo restare solo il denominatore e v_k+1 rispetto a v_k dovrebbe fare la delta di kronecker e poiché $ k \ne k+1 \forall k $, si azzera.
Da qui elimino il 2, eseguo la moltiplicazione e inverto le sommatorie, ottenendo:
$ sum_(k=1)^n (sum_(j=1)^g u_j^w (v_((k+1))-v_(k))/(t_(k+1)-t_k)^2- sum_(j=1)^g u_j^w (x_(j(k+1))-x_(jk))/(t_(k+1)-t_k)^2))=0 $
da cui separo e porto all'altro membro:
$ sum_(k=1)^n (v_((k+1))-v_(k))/(t_(k+1)-t_k)^2=(sum_(k=1)^n sum_(j=1)^g u_j^w (x_(j(k+1))-x_(jk))/(t_(k+1)-t_k)^2)/(sum_(j=1)^g u_j^w)=0 $
e ora?
Come pensavo, il problema è ancora più a monte delle derivate...
NON PUOI derivare rispetto ad un generico $v_k$, che senso ha?? Puoi derivare rispetto a $v_1$ o $v_3$ o, come ho scritto sopra, $v_\hat k$: non avevi notato il cappello??
Se avessi fatto il test che ti ho detto avresti capito subito dove sbagli.
NON PUOI derivare rispetto ad un generico $v_k$, che senso ha?? Puoi derivare rispetto a $v_1$ o $v_3$ o, come ho scritto sopra, $v_\hat k$: non avevi notato il cappello??
Se avessi fatto il test che ti ho detto avresti capito subito dove sbagli.
hai ragione... non me ne ero accorto…
e dunque come faccio a trovare la spezzata v che minimizza la funzione J?
in quella pagina che ti ho riportato quel tipo considera la d^2, che in questo caso è la sommatoria della parentesi al quadrato, come la norma generata dal prodotto interno, dopodiché se non ho capito male applica i moltiplicatori di lagrange utilizzando vettori unitari q e deriva rispetto il moltiplicatore h…
se questo che ho capito è corretto e non ho sbagliato di nuovo i conti seguendo quello che dice lui, mi ritrovo così:
$ sum_(j = 1)^g u_(j)^w sqrt(sum_(k=1)^n((v_((k+1))-v_(k))/(t_(k+1)-t_k)-(x_(j(k+1))-x_(jk))/(t_(k+1)-t_k))^2)-hq=0 $
e in altrettanto modo non so come uscirne..
e dunque come faccio a trovare la spezzata v che minimizza la funzione J?
in quella pagina che ti ho riportato quel tipo considera la d^2, che in questo caso è la sommatoria della parentesi al quadrato, come la norma generata dal prodotto interno, dopodiché se non ho capito male applica i moltiplicatori di lagrange utilizzando vettori unitari q e deriva rispetto il moltiplicatore h…
se questo che ho capito è corretto e non ho sbagliato di nuovo i conti seguendo quello che dice lui, mi ritrovo così:
$ sum_(j = 1)^g u_(j)^w sqrt(sum_(k=1)^n((v_((k+1))-v_(k))/(t_(k+1)-t_k)-(x_(j(k+1))-x_(jk))/(t_(k+1)-t_k))^2)-hq=0 $
e in altrettanto modo non so come uscirne..
Il gradiente di una cosa scalare è una cosa vettoriale, quindi il gradiente di \(J\) sarà un vettore il cui elemento \(k\)-esimo è la derivata rispetto a \(v_k\). Se vuoi trovare quando il gradiente è zero devi imporre che siano zero tutte le sue componenti o, equivalentemente, una sua qualunque norma.
Non posso leggere i conti adesso.
Non posso leggere i conti adesso.
"Raptorista":
Il gradiente di una cosa scalare è una cosa vettoriale, quindi il gradiente di \(J\) sarà un vettore il cui elemento \(k\)-esimo è la derivata rispetto a \(v_k\). Se vuoi trovare quando il gradiente è zero devi imporre che siano zero tutte le sue componenti o, equivalentemente, una sua qualunque norma.
Non posso leggere i conti adesso.
Dunque mi calcolo la derivata rispetto una qualsiasi componente, ad esempio v_1:
$ (partial J)/(partial v_1)= sum_(j=1)^g u_j^w ((v_2-v_1)/(t_2-t_1)^2-(x_(j2)-x_(j1))/((t_2-t_1)(t'_2-t'_1)) $
poi la generalizzo avendo tutte le componenti del grandiente la stessa forma, calcolo la norma e la pongo uguale a zero:
$ sqrt( sum_(k=1)^n(sum_(j=1)^g u_j^w((v_(k+1)-v_k)/(t_(k+1)-t_k)^2-(x_(jk+1)-x_(jk))/((t_2-t_1)(t'_2-t'_1)))^2= 0 $
elevo al quadrato ed elimino la radice, e poi applico la seguente formula:
$ (sum_(c=1)^p l_c)^2= sum_(c=1)^pl_c^2+2sum_(c=1)^(p-1)sum_(h=c-1)^pl_cl_h $
che mi porta ad avere questo mostro:
$ sum_(k=1)^n[sum_(j=1)^g u_j^(2w)((v_(k+1)-v_k)/(t_(k+1)-t_k)^2-(x_(jk+1)-x_(jk))/((t_2-t_1)(t'_2-t'_1)))+2sum_(j=1)^(g-1)sum_(h=j+1)^gu_j^wu_h^w((v_(k+1)-v_k)/(t_(k+1)-t_k)^2-(x_(jk+1)-x_(jk))/((t_2-t_1)(t'_2-t'_1)))((v_(k+1)-v_k)/(t_(k+1)-t_k)^2-(x_(hk+1)-x_(hk))/((t_2-t_1)(t'_2-t'_1)))]=0 $
ho portato dentro la sommatoria con k:
$ sum_(k=1)^n(v_(k+1)-v_k)/(t_(k+1)-t_k)^2-sum_(j=1)^g u_j^(2w)sum_(k=1)^n(x_(jk+1)-x_(jk))/((t_2-t_1)(t'_2-t'_1))+2sum_(j=1)^(g-1)sum_(h=j+1)^gu_j^wu_h^wsum_(k=1)^n((v_(k+1)-v_k)/(t_(k+1)-t_k)^2-(x_(jk+1)-x_(jk))/((t_2-t_1)(t'_2-t'_1)))((v_(k+1)-v_k)/(t_(k+1)-t_k)^2-(x_(hk+1)-x_(hk))/((t_2-t_1)(t'_2-t'_1)))=0 $
e ho provato a eseguire le moltiplicazioni sperando in termini misti che si elidono, ma così non è stato. consigli?
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