Risoluzione equazione

[bloodyangelus-votailprof]

Buongiorno,
sto trovando davvero molte difficoltà nel risolvere la seguente equazione:
$ J(x,v,u)=sum_(i=1)^c sum_(j = 1)^gu_(ij)^w sum_(k=1)^n((v_(i(k+1))-v_(ik))/(t_(k+1)-t_k)-(x_(i(k+1))-x_(ik))/(t_(k+1)-t_k))^2 $

Quello che credo di dover fare è differenziare parzialmente rispetto a $ v_(ik) $ , porre uguale a zero, ossia trovare il minimo della funzione e poi ricavare l'espressione per $ v_(ik) $.
Lo scopo in ogni caso è trovare la funzione v che minimizza la funzione J.


sia x che v sono funzioni di t.

Quello che so è che l'espressione finale per $ v_(ik) $ dev'essere indipendente da i, per cui lo posso fissare e elimino la rispettiva sommatoria.

Dunque la reale equazione da derivare ecc è:
$ J(x,v,u)=sum_(j = 1)^gu_(ij)^w sum_(k=1)^n((v_(i(k+1))-v_(ik))/(t_(k+1)-t_k)-(x_(i(k+1))-x_(ik))/(t_(k+1)-t_k))^2 $

Se derivo parzialmente per $ v_(ik) $, devo considerare tutto costante tranne i termini v, giusto? e mentre il termine $v_(ik)$ derivato fa 1, quello $v_(i(k+1))$ risulta delta di kronecker oppure li riscrivo come $ (v_(i(k+1))-v_(ik))/(v_(ik)-v_(i(k-1))) $ ?

e cmq a parte questo passaggio che risulta relativamente semplice, una volta calcolata la derivata mi blocco e non so come andare avanti. Non riesco a ricavarmi l'equazione in funzione di $v_(ik)$.


qualcuno mi può aiutare spiegandomi i passaggi?

grazie

[Raptorista1]

La derivata è sbagliata, manca il termine con \(v_1 - v_0\).

[bloodyangelus-votailprof]

"Raptorista":La derivata è sbagliata, manca il termine con \(v_1 - v_0\).

la derivata di v_2 rispetto a v_1 non dovrebbe fare la delta di kronecker?

[Raptorista1]

La derivata di $v_2$ rispetto a $v_1$ è zero, senza simboli strani. Comunque questo non c'entra niente con quello che ho detto io.

[bloodyangelus-votailprof]

Dunque mi calcolo la derivata rispetto una qualsiasi componente, ad esempio v_1:
$ (partial J)/(partial v_1)=-2*sum_(j=1)^g u_j^w (((v_2-v_1)(v_1-v_0))/(t_2-t_1)^2-((x_(j2)-x_(j1))(v_1-v_0))/((t_2-t_1)(t'_(j2)-t'_(j1)))) $
ho distinto tra t e t' perché mi sono reso conto che a v e a x vanno associate t diverse. Inoltre ho eseguito i prodotti perché non ho notato migliorie nel lasciarli separati.
poi la generalizzo avendo tutte le componenti del grandiente la stessa forma, calcolo la norma e la pongo uguale a zero:
$ sqrt( sum_(k=1)^n(-2*sum_(j=1)^g u_j^w(((v_(k+1)-v_k)(v_k-v_(k-1)))/(t_(k+1)-t_k)^2-((x_(jk+1)-x_(jk))(v_k-v_(k-1)))/((t_(k+1)-t_k)(t'_(jk+1)-t'_(jk)))))^2= 0 $

elevo al quadrato ed elimino la radice, e poi applico la seguente formula:
$ (sum_(c=1)^p l_c)^2= sum_(c=1)^pl_c^2+2sum_(c=1)^(p-1)sum_(h=c-1)^pl_cl_h $

che mi porta ad avere questo mostro:
$ sum_(k=1)^n[sum_(j=1)^g u_j^(2w)(((v_(k+1)-v_k)(v_k-v_(k-1)))/(t_(k+1)-t_k)^2-((x_(jk+1)-x_(jk))(v_k-v_(k-1)))/((t_(k+1)-t_k)(t'_(jk+1)-t'_(jk))))+2sum_(j=1)^(g-1)sum_(h=j+1)^gu_j^wu_h^w(((v_(k+1)-v_k)(v_k-v_(k-1)))/(t_(k+1)-t_k)^2-((x_(jk+1)-x_(jk))(v_k-v_(k-1)))/((t_(k+1)-t_k)(t'_(jk+1)-t'_(jk))))(((v_(k+1)-v_k)(v_k-v_(k-1)))/(t_(k+1)-t_k)^2-((x_(hk+1)-x_(hk))(v_k-v_(k-1)))/((t_(k+1)-t_k)(t'_(hk+1)-t'_(hk))))]=0 $

ho portato dentro la sommatoria con k:
$ sum_(k=1)^n((v_(k+1)-v_k)(v_k-v_(k-1)))/(t_(k+1)-t_k)^2-sum_(j=1)^g u_j^(2w)sum_(k=1)^n((x_(jk+1)-x_(jk))(v_k-v_(k-1)))/((t_(k+1)-t_k)(t'_(jk+1)-t'_(jk)))+2sum_(j=1)^(g-1)sum_(h=j+1)^gu_j^wu_h^wsum_(k=1)^n(((v_(k+1)-v_k)(v_k-v_(k-1)))/(t_(k+1)-t_k)^2-((x_(jk+1)-x_(jk))(v_k-v_(k-1)))/((t_(k+1)-t_k)(t'_(jk+1)-t'_(jk))))(((v_(k+1)-v_k)(v_k-v_(k-1)))/(t_(k+1)-t_k)^2-((x_(hk+1)-x_(hk))(v_k-v_(k-1)))/((t_(k+1)-t_k)(t'_(hk+1)-t'_(hk))))=0 $

e ho provato anche stavolta a eseguire le moltiplicazioni sperando in termini misti che si elidono ma ora è peggio di prima... consigli?

[Raptorista1]

Non vedo \(t_1 - t_0\) alla prima riga.

[bloodyangelus-votailprof]

Hai ragione… erroraccio..
calcolo la derivata rispetto v_1:
$ (partial J)/(partial v_1)=-2*sum_(j=1)^g u_j^w (((v_2-v_1)(v_1-v_0))/((t_1-t_0)(t_2-t_1)^2)-((x_(j2)-x_(j1))(v_1-v_0))/((t_2-t_1)(t_1-t_0)(t'_(j2)-t'_(j1)))) $
ho distinto tra t e t' perché mi sono reso conto che a v e a x vanno associate t diverse.
generalizzo, calcolo la norma e la pongo uguale a zero:
$ sqrt( sum_(k=1)^n(-2*sum_(j=1)^g u_j^w(((v_(k+1)-v_k)(v_k-v_(k-1)))/((t_k-t_(k-1))(t_(k+1)-t_k)^2)-((x_(jk+1)-x_(jk))(v_k-v_(k-1)))/((t_(k+1)-t_k)(t_k-t_(k-1))(t'_(jk+1)-t'_(jk)))))^2= 0 $

elevo al quadrato ed elimino la radice, e poi applico la seguente formula:
$ (sum_(c=1)^p l_c)^2= sum_(c=1)^pl_c^2+2sum_(c=1)^(p-1)sum_(h=c-1)^pl_cl_h $

che mi porta ad avere questo mostro:
$ sum_(k=1)^n[sum_(j=1)^g u_j^(2w)(((v_(k+1)-v_k)(v_k-v_(k-1)))/((t_k-t_(k-1))(t_(k+1)-t_k)^2)-((x_(jk+1)-x_(jk))(v_k-v_(k-1)))/((t_(k+1)-t_k)(t_k-t_(k-1))(t'_(jk+1)-t'_(jk))))^2+2sum_(j=1)^(g-1)sum_(h=j+1)^gu_j^wu_h^w(((v_(k+1)-v_k)(v_k-v_(k-1)))/((t_k-t_(k-1))(t_(k+1)-t_k)^2)-((x_(jk+1)-x_(jk))(v_k-v_(k-1)))/((t_(k+1)-t_k)(t_k-t_(k-1))(t'_(jk+1)-t'_(jk))))(((v_(k+1)-v_k)(v_k-v_(k-1)))/((t_k-t_(k-1))(t_(k+1)-t_k)^2)-((x_(hk+1)-x_(hk))(v_k-v_(k-1)))/((t_(k+1)-t_k)(t_k-t_(k-1))(t'_(hk+1)-t'_(hk))))]=0 $

consigli?

[Raptorista1]

A naso direi che la deriva è ancora sbagliata. Senti Marco, non ha senso che tu continui a fare mezzo conto per volta e lo piazzi qui perché io ti dica passo passo cosa manca. Adesso, per esempio, mi sembra sospetto che non ci sia da nessuna parte \(x_{j0}\). Scrivi la derivata rispetto a \(v_1\) passaggio per passaggio partendo dalla derivata della somma dei due termini. Secondo me non c'è nemmeno bisogno che svolgi i conti inizialmente, puoi tenerli fino all'ultimo, ma almeno sai che sono giusti. Ed io non devo fare lo sforzo di farli a mente - perché di farli per iscritto non ho alcuna voglia.

[bloodyangelus-votailprof]

poiché x non dipende da v, le derivate di x rispetto a v non sono tutte nulle?

[Raptorista1]

Ok ma stai derivando un quadrato, quindi la funzione per intero deve rimanere. E comunque nella tua formula c'è \(x_{j1}\) quindi prendi una decisione chiara.
Se vuoi che continui ad aiutarti fai questo conto per bene, altrimenti non ne uscirai mai.

[bloodyangelus-votailprof]

$ partial/(partialv_1)((v_(2)-v_1)/(t_2-t_1)-(x_(j2)-x_(j1))/(t'_2-t'_1))^2=2((v_(2)-v_1)/(t_2-t_1)-(x_(j2)-x_(j1))/(t'_2-t'_1))partial/(partialv_1)((v_(2)-v_1)/(t_2-t_1)-(x_(j2)-x_(j1))/(t'_2-t'_1))= 2((v_(2)-v_1)/(t_2-t_1)-(x_(j2)-x_(j1))/(t'_2-t'_1))(partial/(partialv_1)(-v_1)/(t_2-t_1)-partial/(partialv_1)(-x_(j1))/(t'_2-t'_1))= 2((v_(2)-v_1)/(t_2-t_1)-(x_(j2)-x_(j1))/(t'_2-t'_1))(-(v_1-v_0)/((t_1-t_0)(t_2-t_1))+ (x_(j1)-x_j0)/((t'_2-t'_1)(t'_1-t'_0))) $

questa dovrebbe essere corretta, giusto?
mi conviene fare i prodotti e "mischiare" x e v?

[Raptorista1]

Non so come ma ti sei perso alla fine. Il risultato è
$ partial/(partialv_1)((v_(2)-v_1)/(t_2-t_1)-(x_(j2)-x_(j1))/(t'_2-t'_1))^2=2((v_(2)-v_1)/(t_2-t_1)-(x_(j2)-x_(j1))/(t'_2-t'_1))(-1/(t_2-t_1)) $

[bloodyangelus-votailprof]

"Raptorista":Non so come ma ti sei perso alla fine. Il risultato è
$ partial/(partialv_1)((v_(2)-v_1)/(t_2-t_1)-(x_(j2)-x_(j1))/(t'_2-t'_1))^2=2((v_(2)-v_1)/(t_2-t_1)-(x_(j2)-x_(j1))/(t'_2-t'_1))(-1/(t_2-t_1)) $

ma scusa, tu hai detto che doveva esserci v_1 - v_0 che doveva esserci t_1 - t_0... che doveva esserci un pezzo con la x...

da quello che dicevi avevo capito che la derivata di v_1 rispetto a se stesso non fosse 1 come hai appena scritto e come credevo io, ma fosse v_1-v_0/t_1-t_0...

[Raptorista1]

Sì, ed entrambi quei pezzi saltano fuori quando fai la derivata rispetto a $v_1$ dell'altro termine della sommatoria che contiene $v_1$.

[bloodyangelus-votailprof]

"Raptorista":Sì, ed entrambi quei pezzi saltano fuori quando fai la derivata rispetto a $v_1$ dell'altro termine della sommatoria che contiene $v_1$.

la funzione è:
$ J(x,v,u)=sum_(j = 1)^g u_(j)^w sum_(k=1)^n((v_((k+1))-v_(k))/(t_(k+1)-t_k)-(x_(j(k+1))-x_(jk))/(t'_(k+1)-t'_k))^2 $

e poiché k parte da 1, c'è solo un termine della sommatoria su k che contiene v_1... ed è quello che abbiamo derivato… a quale altro pezzo ti riferisci?

[Raptorista1]

Maledizione, non mi ero accorto che l'indice partisse da 1, pensavo partisse da zero.
Ok, quindi nel caso di $v_1$ non c'è altro da fare, però nel caso di $v_2$ eccetera ci saranno due termini per ciascun k (a parte l'ultimo).

Ok, chiarito questo puoi scrivere la derivata rispetto a un indice generico e mettere tutto insieme.

[bloodyangelus-votailprof]

Con la rinnovata fiducia nel mio saper fare derivate banali (XD) ho eseguito le derivate per v_1 e v_2, ho generalizzato v_2, ho fatto la norma, posta =0 e tolta la radice.

con la relazione per il quadrato della sommatoria ho ricavato la seguente relazione:

$ sum_(j=1)^g4u_j^(2w)(-(v_2-v_1)/b_1+(x_(j2)-x_(j1))/e_1)^2+8sum_(j=1)^(g-1)sum_(h=j+1)^gu_j^wu_h^w(-(v_2-v_1)/b_1+(x_(j2)-x_(j1))/e_1)(-(v_2-v_1)/b_1+(x_(h2)-x_(h1))/e_1)+ sum_(k=2)^n[sum_(j=1)^g4u_j^(2w)((-a_kv_(k+1)+c_kv_k-b_kv_(k-1))/(a_kb_k)+(d_kx_(jk+1)-f_kx_(jk)+e_kx_(jk-1))/(d_ke_k))^2+ 8sum_(j=1)^(g-1)sum_(h=j+1)^gu_j^(w)u_h^w((-a_kv_(k+1)+c_kv_k-b_kv_(k-1))/(a_kb_k)+(d_kx_(jk+1)-f_kx_(jk)+e_kx_(jk-1))/(d_ke_k))((-a_kv_(k+1)+c_kv_k-b_kv_(k-1))/(a_kb_k)+(d_kx_(hk+1)-f_kx_(hk)+e_kx_(hk-1))/(d_ke_k))]=0 $

a,b,c,d,e,f sono posizioni e dipendono esclusivamente dalla variabile t e t'.
ho provato a cominciare a svolgere moltiplicazioni solo sulla prima parte, ma non risulta nulla di semplificabile o utilizzabile...

[Raptorista1]

A parte che se non mandi a capo la formula non si legge niente perché la formula esce dalla pagina, da dove arrivano tutti quei termini adesso?? Puoi scrivere qualche passaggio in più?