Risoluzione eq di terzo grado
Ciao a tutti, sono arrugginito di 12 anni in materia ... qualcuno può aiutarmi a capire come risolvere l equazione di terzo grado delle tensioni principali (scienza delle costruzioni)? Anche nel caso piano (ad esempio x è direzione principale (pertanto txz=txy=0) faccio difficoltà
Risposte
Ciao Cla1608,
Innanzitutto Buon 2020!
A proposito di ruggine, mi sono laureato nel 1997 e Scienza delle Costruzioni l'ho sostenuto nel piuttosto lontano 16/02/1993...
Non è che potresti postare direttamente l'equazione in questione così vediamo se si riesce a darti una mano?
Innanzitutto Buon 2020!
"Cla1608":
Ciao a tutti, sono arrugginito di 12 anni in materia ...
A proposito di ruggine, mi sono laureato nel 1997 e Scienza delle Costruzioni l'ho sostenuto nel piuttosto lontano 16/02/1993...
Non è che potresti postare direttamente l'equazione in questione così vediamo se si riesce a darti una mano?
ecco l immagine
https://i.postimg.cc/8P2cZQP2/Senzanome.png della formula (incognita in sigma)
buon anno anche a te ... siamo vecchietti ormai
https://i.postimg.cc/8P2cZQP2/Senzanome.png della formula (incognita in sigma)
buon anno anche a te ... siamo vecchietti ormai
Intanto riscrivo l'equazione richiesta, che se no a lungo andare quell'immagine andrà perduta ed il thread finirebbe per perdere significato...
L'equazione nell'incognita $\sigma $ richiesta è la seguente:
$\sigma^3 - (\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z)\sigma^2 + (\sigma_x\sigma_y + \sigma_y\sigma_z + \sigma_x\sigma_z - \tau_{xy}^2 - \tau_{yz}^2 - \tau_{xz}^2)\sigma + $
$ - (\sigma_x\sigma_y\sigma_z + 2\tau_{xy}\tau_{yz}\tau_{xz} - \sigma_x \tau_{yz}^2 - \sigma_y\tau_{xz}^2 - \sigma_z \tau_{xy}^2) = 0 $
Sicuramente nel caso $\tau_{xz} = \tau_{xy} = 0 $ le cose dovrebbero semplificarsi.
Di solito si pone:
$I_1 := \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z $
$I_2 := \sigma_x\sigma_y + \sigma_y\sigma_z + \sigma_x\sigma_z - \tau_{xy}^2 - \tau_{yz}^2 - \tau_{xz}^2 $
$I_3 := \sigma_x\sigma_y\sigma_z + 2\tau_{xy}\tau_{yz}\tau_{xz} - \sigma_x \tau_{yz}^2 - \sigma_y\tau_{xz}^2 - \sigma_z \tau_{xy}^2 $
ove $I_k, \quad k = 1, 2, 3 $ sono il primo, il secondo ed il terzo invariante principale cosiddetti perché si potrebbe dimostrare che il loro valore non cambia ruotando gli assi $x$, $y$, $z$. Si può anche dimostrare che l'equazione secolare $\sigma^3 - I_1\sigma^2 + I_2\sigma - I_3 = 0 $ ha tre soluzioni reali e distinte. Se avrò un po' di tempo da dedicare alla questione mi riservo di vedere se riesco a trovare una soluzione generale: nell'attesa potresti dare un'occhiata ad esempio qui.
L'equazione nell'incognita $\sigma $ richiesta è la seguente:
$\sigma^3 - (\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z)\sigma^2 + (\sigma_x\sigma_y + \sigma_y\sigma_z + \sigma_x\sigma_z - \tau_{xy}^2 - \tau_{yz}^2 - \tau_{xz}^2)\sigma + $
$ - (\sigma_x\sigma_y\sigma_z + 2\tau_{xy}\tau_{yz}\tau_{xz} - \sigma_x \tau_{yz}^2 - \sigma_y\tau_{xz}^2 - \sigma_z \tau_{xy}^2) = 0 $
Sicuramente nel caso $\tau_{xz} = \tau_{xy} = 0 $ le cose dovrebbero semplificarsi.
Di solito si pone:
$I_1 := \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z $
$I_2 := \sigma_x\sigma_y + \sigma_y\sigma_z + \sigma_x\sigma_z - \tau_{xy}^2 - \tau_{yz}^2 - \tau_{xz}^2 $
$I_3 := \sigma_x\sigma_y\sigma_z + 2\tau_{xy}\tau_{yz}\tau_{xz} - \sigma_x \tau_{yz}^2 - \sigma_y\tau_{xz}^2 - \sigma_z \tau_{xy}^2 $
ove $I_k, \quad k = 1, 2, 3 $ sono il primo, il secondo ed il terzo invariante principale cosiddetti perché si potrebbe dimostrare che il loro valore non cambia ruotando gli assi $x$, $y$, $z$. Si può anche dimostrare che l'equazione secolare $\sigma^3 - I_1\sigma^2 + I_2\sigma - I_3 = 0 $ ha tre soluzioni reali e distinte. Se avrò un po' di tempo da dedicare alla questione mi riservo di vedere se riesco a trovare una soluzione generale: nell'attesa potresti dare un'occhiata ad esempio qui.
"pilloeffe":
Intanto riscrivo l'equazione richiesta, che se no a lungo andare quell'immagine andrà perduta ed il thread finirebbe per perdere significato...
L'equazione nell'incognita $\sigma $ richiesta è la seguente:
$\sigma^3 - (\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z)\sigma^2 + (\sigma_x\sigma_y + \sigma_y\sigma_z + \sigma_x\sigma_z - \tau_{xy}^2 - \tau_{yz}^2 - \tau_{xz}^2)\sigma + $
$ - (\sigma_x\sigma_y\sigma_z + 2\tau_{xy}\tau_{yz}\tau_{xz} - \sigma_x \tau_{yz}^2 - \sigma_y\tau_{xz}^2 - \sigma_z \tau_{xy}^2) = 0 $
Sicuramente nel caso $\tau_{xz} = \tau_{xy} = 0 $ le cose dovrebbero semplificarsi.
Di solito si pone:
$I_1 := \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z $
$I_2 := \sigma_x\sigma_y + \sigma_y\sigma_z + \sigma_x\sigma_z - \tau_{xy}^2 - \tau_{yz}^2 - \tau_{xz}^2 $
$I_3 := \sigma_x\sigma_y\sigma_z + 2\tau_{xy}\tau_{yz}\tau_{xz} - \sigma_x \tau_{yz}^2 - \sigma_y\tau_{xz}^2 - \sigma_z \tau_{xy}^2 $
ove $I_k, \quad k = 1, 2, 3 $ sono il primo, il secondo ed il terzo invariante principale cosiddetti perché si potrebbe dimostrare che il loro valore non cambia ruotando gli assi $x$, $y$, $z$. Si può anche dimostrare che l'equazione secolare $\sigma^3 - I_1\sigma^2 + I_2\sigma - I_3 = 0 $ ha tre soluzioni reali e distinte. Se avrò un po' di tempo da dedicare alla questione mi riservo di vedere se riesco a trovare una soluzione generale: nell'attesa potresti dare un'occhiata ad esempio qui.
in primis grazie per la risposta .. volevo capire una cosa più che altro ... nel caso complesso in cui il tensore delle tensioni abbia tutte le componenti diverse da zero ... è possibile fare i cerchi di Mohr ???... sto riprendendo dopo anni questa roba e guardando qua e la forse mi sto confondendo le idee. Nel caso affermativo molte problematiche (almeno graficamente) potrebbero essere bypassate ....
un altra cosa di cui sarai meno confuso di me è una questione che ho posto alla discussione
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 8&t=205060
sempre inerente al tema tensioni
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
