Risoluzione disequazione complessa

[alevise1992]

Ciao a tutti, mi è stata proposta una disequazione da risolvere nel campo dei complessi:

$ Re(z+ibar(z))*Re(z)<= z*bar(z) $

Il problema mi richiede di trovare tutti i numeri complessi che risolvono tale disequazione.

Sono un pò titubante rispetto a come risolverla, più di tutto a causa di quei Re().

Ho provato così:

$ Re[x+iy+i(x-iy)]*Re(x+iy)<=|z|^2 $

$ Re(x+iy+ix+y)*Re(x+iy)<=|z|^2 $

$ Re[(x+y)+i(x+y)]*Re(x+iy)<=|z|^2 $ ---> E qui arriva la parte che non capisco se sia giusta o no..

$ (x+y)*(x)<=|z|^2 $

$ x^2+xy<=x^2+y^2 $

$ xy<=y^2 $

$ y*(y-x)>=0 $ ---> Come soluzioni finali dovrebbe darmi che è verificata per $ y>=0 $ e $ y>=x $

Potreste spiegarmi ed eventualmente correggermi? Grazie mille

[dissonance]

Mi sa che sbagli proprio alla fine quando semplifichi $y$ a sinistra e $y^2$ a destra. Per $y<0$ e $x>0$ la disequazione è verificata.

[alevise1992]

Ma se tipo io ragiono così:

Ho questa equazione finale: $ xy≤y^2 $ , dunque:

-se $ y=0 $ ---> $ 0<=0 $ , quindi verificata $ AA x in R $ ;

-se $ y>0 $ ---> allora semplificando per $ y $ non cambio segno: $ x<=y $ (parte sopra della bisettrice nel 1°quadrante);

-se $ y<0 $ ---> allora semplificando per $ y $ cambio segno: $ x>=y $ (parte sotto della bisettrice nel 3° quadrante);

può essere corretto questo come ragionamento o sto sbagliando?

[dissonance]

E nel secondo e quarto quadrante che fai?

[alevise1992]

Non l'avevo considerato grazie per avermelo fatto notare.

Ragionandoci un attimo, se ci troviamo ad esempio nel secondo quadrante, avremo che $ y>=-x $ quindi dobbiamo stare sopra anche alla bisettrice del secondo quadrante, mentre nel quarto quadrante staremo sotto la bisettrice.

Quindi in conclusione, se lo rappresentiamo sul piano, avremo come punti validi tutti quelli compresi fra le due bisettrici più tutta la retta reale delle $ x $.

Adesso potrebbe essere definitivamente corretto è giusto?????

P.S. : grazie per la pazienza

[dissonance]

No. Il secondo quadrante \(x\le0, y\ge 0\) risolve la disequazione. Pure il quarto. Un trucco utile in questi casi è di disegnare prima i punti estremi della tua disequazione, ovvero, i punti che risolvono
\[
y^2-xy=0.\]
Questi formeranno la frontiera dell'insieme che devi disegnare. Nel tuo caso, tale frontiera è l'unione di due rette:
\[
y=0,\ y=x.\]
Il piano viene diviso in quattro parti da tali rette. Scegli quali di queste parti risolvono la disequazione e quali no.

[alevise1992]

Ok, capito grazie per il consiglio e per le correzioni