Risoluzione di un'equazione differenziale alle derivate parziali
Salve a tutti.
Sul testo di analisi 2 che sto seguendo (il Prodi) viene chiesto di risolvere la seguente equazione differenziale (la soluzione non è riportata).
L'equazione è $ xfrac{\partialt}{\partialx}+yfrac{\partialt}{\partialy} = 0 $.
Usando il teorema di Eulero, ho concluso che la funzione $ t(x,y) $ deve essere una funzione omogenea di ordine $ 0 $, cioè una qualsiasi funzione tale che $ \forall \lambda \in \mathbb{R}, t(\lambdax,\lambday)=t(x,y) $.
Il mio ragionamento è corretto?
Se sì, si può andare oltre e specificare meglio la forma di $ t(x,y) $ o questo è il massimo?
Sul testo di analisi 2 che sto seguendo (il Prodi) viene chiesto di risolvere la seguente equazione differenziale (la soluzione non è riportata).
L'equazione è $ xfrac{\partialt}{\partialx}+yfrac{\partialt}{\partialy} = 0 $.
Usando il teorema di Eulero, ho concluso che la funzione $ t(x,y) $ deve essere una funzione omogenea di ordine $ 0 $, cioè una qualsiasi funzione tale che $ \forall \lambda \in \mathbb{R}, t(\lambdax,\lambday)=t(x,y) $.
Il mio ragionamento è corretto?
Se sì, si può andare oltre e specificare meglio la forma di $ t(x,y) $ o questo è il massimo?
Risposte
Va bene. La tua funzione deve essere continua su tutto \(\mathbb R^2\)? In questo caso puoi dire molto di più.
La soluzione è quella lì.
Ovviamente più di quello non puoi dire se non hai delle "condizioni iniziali" da accoppiare alla PDE.
Visto che una funzione omogenea è determinata non appena si assegnano i suoi valori sul bordo di un insieme $Omega$ stellato rispetto all'origine, ti basta assegnare $t=T$ su una curva $Gamma=\partial Omega$ che delimita un tale dominio (ad esempio, una circonferenza di centro $O$).
Ovviamente più di quello non puoi dire se non hai delle "condizioni iniziali" da accoppiare alla PDE.
Visto che una funzione omogenea è determinata non appena si assegnano i suoi valori sul bordo di un insieme $Omega$ stellato rispetto all'origine, ti basta assegnare $t=T$ su una curva $Gamma=\partial Omega$ che delimita un tale dominio (ad esempio, una circonferenza di centro $O$).
"dissonance":
Va bene. La tua funzione deve essere continua su tutto \(\mathbb R^2\)? In questo caso puoi dire molto di più.
Esplicitamente non viene richiesta la continuità, ma sarei comunque curioso di capire un attimo cosa accadrebbe in caso l'avesse chiesto, perché ora come ora non mi viene in mente niente.
Accadrebbe che le uniche soluzioni sarebbero le costanti.
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