Risoluzione di una serie con criterio degli infinitesimi
Buongiorno 
inizio con il dire che vi seguo sempre, e che mi avete dato un ottima mano con il capire molti argomenti di analisi 1.
Oggi esercitandomi mi sono imbattuto su questa serie:
$ sum_(n = \0)^(+oo) n^100 e^-n $
io l'ho provata a risolvere con il metodo degli infinitesimi, ho quindi moltiplicato la serie per $ n^-100 $
quindi con la dovuta semplificazione mi resta $ e^-n $
$ e^-n <1 $ quindi la serie converge.
Vi scrivo per sapere se come metodo risolutivo è esatto, visto che sono alle prime armi
sul libro lo risolve in altri modi: o con il criterio del rapporto oppure con il criterio del confronto.
Secondo voi è giusto il mio metodo?
inizio con il dire che vi seguo sempre, e che mi avete dato un ottima mano con il capire molti argomenti di analisi 1.
Oggi esercitandomi mi sono imbattuto su questa serie:
$ sum_(n = \0)^(+oo) n^100 e^-n $
io l'ho provata a risolvere con il metodo degli infinitesimi, ho quindi moltiplicato la serie per $ n^-100 $
quindi con la dovuta semplificazione mi resta $ e^-n $
$ e^-n <1 $ quindi la serie converge.
Vi scrivo per sapere se come metodo risolutivo è esatto, visto che sono alle prime armi
sul libro lo risolve in altri modi: o con il criterio del rapporto oppure con il criterio del confronto.
Secondo voi è giusto il mio metodo?
Risposte
Nessuno sa se è giusto?
Comunque è possibile risolverlo anche con questo criterio ma nel tuo ragionamento c'è un errore evidente, la successione costantemente $1/2$ ha ogni elemento <1 ma la serie non è affatto convergente .
quindi devi dimostrare la convergenza della serie $e^(−n)$ in qualche altro modo.
quindi devi dimostrare la convergenza della serie $e^(−n)$ in qualche altro modo.
Potrei utilizzare il metodo del confronto confrontandola con $ 1/n^2 $.
$ n^100/e^n <1/n^2 $ quindi per il criterio del confronto converge, giusto?
$ n^100/e^n <1/n^2 $ quindi per il criterio del confronto converge, giusto?
1) Hai capito cosa avevi sbagliato? perche' hai deciso di cambiare metodo?
2) stai attento, cerca di essere piu' preciso quando scrivi e giustifica cio' che dici.
$ n^100/e^n <1/n^2 $ perche' e' vera? se lo fosse, per quali n?
riscrivi l'esercizio cercando di essere piu' precisa.... (cosi' non va ancora bene)
2) stai attento, cerca di essere piu' preciso quando scrivi e giustifica cio' che dici.
$ n^100/e^n <1/n^2 $ perche' e' vera? se lo fosse, per quali n?
riscrivi l'esercizio cercando di essere piu' precisa.... (cosi' non va ancora bene)
Ho provato a rifare l'esercizio pertendo da zero. 
Ho cambiato metodo perchè sicuramente è più semplice utilizzare il criterio del confronto asintotico,
adesso l'ho risolto utilizzando questo procedimento:
$ n^100*e^-n=n^100*(1/e^n)=n^100*(1/e)^n~ (1/e)^n $
utilizzando il criterio del confronto asintotico e confrontandolo con la serie geometrica, si può dire che converge perchè
$ -1<1/e<1 $
Ho cambiato metodo perchè sicuramente è più semplice utilizzare il criterio del confronto asintotico,
adesso l'ho risolto utilizzando questo procedimento:
$ n^100*e^-n=n^100*(1/e^n)=n^100*(1/e)^n~ (1/e)^n $
utilizzando il criterio del confronto asintotico e confrontandolo con la serie geometrica, si può dire che converge perchè
$ -1<1/e<1 $
Sei sicuro che si vero $ n^100*(1/e)^n~ (1/e)^n $ ?
Soprattutto all'inizio devi abituarti a giustificare ogni passaggio...
Soprattutto all'inizio devi abituarti a giustificare ogni passaggio...
Un esponenziale va a infinito più velocemente di qualsiasi numero elevato a potenza
Se vuoi puoi usare il primo criterio, usando per concludere la parte corretta di questa dimostrazione...
Altrimenti io userei il criterio dell'ordine dell'infinitesiomo (se cosi' si chiama)
Altrimenti io userei il criterio dell'ordine dell'infinitesiomo (se cosi' si chiama)
come fai a dimostrare $ n^100*(1/e)^n~ (1/e)^n $?
come hai detto non va bene
come hai detto non va bene
prova ad andare a vedere la definizione di asintoticamente equivalente ( o caratterizzazioni di essa)
Dovrei fare $ lim_( n-> +oo) (n^100*(1/e)^n)/(1/e)^n =1 $
ma non è così, quindi il procedimento è sbagliato?
ma non è così, quindi il procedimento è sbagliato?
Si e' sbagliato... ma c'e' anche qualcosa di giusto.
mi ripeto se vuoi puoi usare il primo criterio, usando per concludere la parte corretta di questa dimostrazione...
Altrimenti io userei il criterio dell'ordine dell'infinitesiomo (se cosi' si chiama)
Fai ancora un tentativo, altrimenti ti scrivo una possibile soluzione.
mi ripeto se vuoi puoi usare il primo criterio, usando per concludere la parte corretta di questa dimostrazione...
Altrimenti io userei il criterio dell'ordine dell'infinitesiomo (se cosi' si chiama)
Fai ancora un tentativo, altrimenti ti scrivo una possibile soluzione.
Se utilizzassi il criterio degli infinitesimi moltiplicando la successione per $n^-100$ e facendo la semplificazione mi resterebbe $ e^-n $
poi :
$ lim_(n -> +oo) (1/e)^n $ tende a zero quindi per il criterio degli infinitesimi questa successione poichè ho moltiplicato per $n^-100$ che ha come esponente un numero negativo e poichè il limite tende a zero dovrebbe divergere, ma non so se è corretta poichè in teoria il limite dovrebbe essere un valore " l " costante e non tendere a zero..
sono confuso
poi :
$ lim_(n -> +oo) (1/e)^n $ tende a zero quindi per il criterio degli infinitesimi questa successione poichè ho moltiplicato per $n^-100$ che ha come esponente un numero negativo e poichè il limite tende a zero dovrebbe divergere, ma non so se è corretta poichè in teoria il limite dovrebbe essere un valore " l " costante e non tendere a zero..
sono confuso
No e' ancora sbagliata... devi sforzartia giustificare ogni passaggio in modo rigoroso.
Comunque stasera ti scrivo una soluzione
Comunque stasera ti scrivo una soluzione
va bene.. grazie infinite
il criterio degli infinitesimi (copiato da wiki)
Sia $a_n$ una successione a termini non negativi. Supponiamo che, fissato un numero reale $\rho$ esista il limite:
$l = \lim_{n \to +\infty}n^\rho a_n$
Si ha:
$l \ne +\infty , \rho > 1 \Rightarrow \sum_{k=1}^\infty a_k < +\infty$
$l \ne 0 , \rho \le 1 \Rightarrow \sum_{k=1}^\infty a_k = +\infty$
Ora la nostra successione $a_n=n^100(1/e)^n$ è a termini non negativi,
facciamo come hai fatto tu cioè prendiamo $\rho = 100$
e si ha $ \lim_{n \to +\infty}n^\rho a_n = lim_(n -> +oo) (1/e)^n =0=l$
Ora applicando il teorema $\rho>1$ e $l\ne+\infty \Rightarrow\sum_{n=1}^\infty a_n < +\infty$
Cioè la serie converge
Sia $a_n$ una successione a termini non negativi. Supponiamo che, fissato un numero reale $\rho$ esista il limite:
$l = \lim_{n \to +\infty}n^\rho a_n$
Si ha:
$l \ne +\infty , \rho > 1 \Rightarrow \sum_{k=1}^\infty a_k < +\infty$
$l \ne 0 , \rho \le 1 \Rightarrow \sum_{k=1}^\infty a_k = +\infty$
Ora la nostra successione $a_n=n^100(1/e)^n$ è a termini non negativi,
facciamo come hai fatto tu cioè prendiamo $\rho = 100$
e si ha $ \lim_{n \to +\infty}n^\rho a_n = lim_(n -> +oo) (1/e)^n =0=l$
Ora applicando il teorema $\rho>1$ e $l\ne+\infty \Rightarrow\sum_{n=1}^\infty a_n < +\infty$
Cioè la serie converge
Scusami ma non avresti dovuto prendere $ rho = -100 $ per semplificarlo con il nostro $ n^100 $ ??
si hai ragione (va bene anche $\rho=100$ ma c'e' un calcolo sbagliato....
Rifacciamo:
Ora la nostra successione$ a_n=n^100(1/e)^n $è a termini non negativi,
Prendiamo$ \rho = 2 $
e si ha$ \lim_{n \to +\infty}n^\rho a_n = lim_(n -> +oo) n^102(1/e)^n =0=l$ perche' $e^n$ e' infinito di ordine maggiore .
Ora applicando il teorema ρ>1 e l≠+∞⇒serie convergente
Rifacciamo:
Ora la nostra successione$ a_n=n^100(1/e)^n $è a termini non negativi,
Prendiamo$ \rho = 2 $
e si ha$ \lim_{n \to +\infty}n^\rho a_n = lim_(n -> +oo) n^102(1/e)^n =0=l$ perche' $e^n$ e' infinito di ordine maggiore .
Ora applicando il teorema ρ>1 e l≠+∞⇒serie convergente
Si ora ho capito il procedimento.
Grazie infinite
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