Risoluzione di una serie
Buongiorno a tutti ho difficoltà a risolvere la seguente serie $sum_1^{infinito} {1/n log (n/(n+1))log(n/(n^2+1))}$
Perchè io la direi asintotica a $sum_ 1^{infinito} {1/n log (n/(n))log(n/(n^2))}$ quindi per il confronto tra infniti "vince" $1/n$ e di conseguenza la serie diverge ma non sono assolutamente convinta che sia esato come metodo. Grazie a chiunque risponderà.
P.S. : La serie è sempre tra 1 e infinito ma non riesco a scriverlo
Perchè io la direi asintotica a $sum_ 1^{infinito} {1/n log (n/(n))log(n/(n^2))}$ quindi per il confronto tra infniti "vince" $1/n$ e di conseguenza la serie diverge ma non sono assolutamente convinta che sia esato come metodo. Grazie a chiunque risponderà.
P.S. : La serie è sempre tra 1 e infinito ma non riesco a scriverlo
Risposte
Ciao Appinmate,
La serie proposta è la seguente:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n log (n/(n+1))log(n/(n^2+1)) $
Per risolverla farei uso di maggiorazioni:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n log (n/(n+1))log(n/(n^2+1)) = \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n log (1 - 1/n) log(n/(n^2+1)) \le \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n \cdot 1 \cdot 1/n = $
$ = \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = \pi^2/6 $
Si conclude che la serie proposta è convergente.
La serie proposta è la seguente:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n log (n/(n+1))log(n/(n^2+1)) $
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n log (n/(n+1))log(n/(n^2+1)) $Per risolverla farei uso di maggiorazioni:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n log (n/(n+1))log(n/(n^2+1)) = \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n log (1 - 1/n) log(n/(n^2+1)) \le \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n \cdot 1 \cdot 1/n = $
$ = \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = \pi^2/6 $
Si conclude che la serie proposta è convergente.
Grazie mille per l'aiuto! 
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