Risoluzione di una serie
Buongiorno a tutti!
Vorrei chiedervi aiuto per poter risolvere la serie seguente:
[tex]\sum_{n=1}^{+ \infty}ln\left | \frac{n+1}{n} - \frac{n+2}{n^2} \right |[/tex]
Il termine generale tende a 0. Inoltre, noto che [tex]\left | ln\left | \frac{n+1}{n} - \frac{n+2}{n^2} \right | \right | \geq 0[/tex], e se scrivo l'argomento del logaritmo come [tex]\left | \frac{n+1}{n} - \frac{n+2}{n^2} \right | = \left | \frac{n^2-2}{n^2} \right | = 1 + \left [ \left | \frac{n^2-2}{n^2} \right | -1 \right ][/tex] posso scrivere:
[tex]0\leq \left | ln\left | \frac{n^2-2}{n^2} \right | \right |\leq\ \left | \left | \frac{n^2-2}{n^2} \right | -1 \right |[/tex].
Pertanto, per mostrare che la serie data è convergente, mi basta verificare che la serie
[tex]\sum_{n=1}^{+ \infty}\left | \left | \frac{n^2-2}{n^2} \right | -1 \right |[/tex]
sia convergente ed applicare il teorema del confronto.
I miei dubbi nascono essenzialmente in due punti: se è vera la disuguaglianza [tex]log(1+x)\leq x\;\;\;\;\forall x\geq-1[/tex], posso stabilire che è vera anche la disuguaglianza [tex]\left |log(1+\left |x \right |) \right |\leq \left |x \right |\;\;\;\;\forall \left |x \right |\geq-1[/tex]?
Ed ancora, qualora ciò fosse vero, come dovrei procedere per studiare l'ultima serie riportata (e non quella di partenza)?
Vorrei chiedervi aiuto per poter risolvere la serie seguente:
[tex]\sum_{n=1}^{+ \infty}ln\left | \frac{n+1}{n} - \frac{n+2}{n^2} \right |[/tex]
Il termine generale tende a 0. Inoltre, noto che [tex]\left | ln\left | \frac{n+1}{n} - \frac{n+2}{n^2} \right | \right | \geq 0[/tex], e se scrivo l'argomento del logaritmo come [tex]\left | \frac{n+1}{n} - \frac{n+2}{n^2} \right | = \left | \frac{n^2-2}{n^2} \right | = 1 + \left [ \left | \frac{n^2-2}{n^2} \right | -1 \right ][/tex] posso scrivere:
[tex]0\leq \left | ln\left | \frac{n^2-2}{n^2} \right | \right |\leq\ \left | \left | \frac{n^2-2}{n^2} \right | -1 \right |[/tex].
Pertanto, per mostrare che la serie data è convergente, mi basta verificare che la serie
[tex]\sum_{n=1}^{+ \infty}\left | \left | \frac{n^2-2}{n^2} \right | -1 \right |[/tex]
sia convergente ed applicare il teorema del confronto.
I miei dubbi nascono essenzialmente in due punti: se è vera la disuguaglianza [tex]log(1+x)\leq x\;\;\;\;\forall x\geq-1[/tex], posso stabilire che è vera anche la disuguaglianza [tex]\left |log(1+\left |x \right |) \right |\leq \left |x \right |\;\;\;\;\forall \left |x \right |\geq-1[/tex]?
Ed ancora, qualora ciò fosse vero, come dovrei procedere per studiare l'ultima serie riportata (e non quella di partenza)?
Risposte
Ma guarda che la tua serie,sopprimendone il primo addendo,ha lo stesso carattere di $sum_(n=2)^(+oo)log(1-2/(n^2))$:
e per confronto asintotico non è difficile capire come si comporti quest'ultima..
L'ultimo quesito non mi pare ben posto,poi:
se lo sistemi puoi darti risposta da solo,e nel caso in compagnia
!
Saluti dal web,
e per confronto asintotico non è difficile capire come si comporti quest'ultima..
L'ultimo quesito non mi pare ben posto,poi:
se lo sistemi puoi darti risposta da solo,e nel caso in compagnia
!Saluti dal web,
Hai:
\[
\begin{split}
\ln \left| \frac{n+1}{n} -\frac{n+2}{n^2}\right| &= \ln \left( 1+\left| \frac{n+1}{n} -\frac{n+2}{n^2}\right|-1\right) &\\
&\approx \left| \frac{n+1}{n} -\frac{n+2}{n^2}\right|-1 &\quad \text{(perché } \ln (1+y)\approx y\text{ per } y\to 0\text{)}
\end{split}
\]
d'altra parte, dato che \(\frac{n+1}{n}\to 1\) e \(\frac{n+2}{n^2}\to 0\), definitivamente l'argomento del valore assoluto è positivo, dunque:
\[
\begin{split}
\ln \left| \frac{n+1}{n} -\frac{n+2}{n^2}\right| &\approx \frac{n+1}{n} -\frac{n+2}{n^2}-1 \\
&= \frac{n^2+n-n-2-n^2}{n^2} \\
&= -\frac{2}{n^2}
\end{split}
\]
il che equivale a dire che:
\[
\left| \ln \left| \frac{n+1}{n} -\frac{n+2}{n^2}\right| \right| \approx \frac{2}{n^2}\; .
\]
Da qui concludi col confronto asintotico.
\[
\begin{split}
\ln \left| \frac{n+1}{n} -\frac{n+2}{n^2}\right| &= \ln \left( 1+\left| \frac{n+1}{n} -\frac{n+2}{n^2}\right|-1\right) &\\
&\approx \left| \frac{n+1}{n} -\frac{n+2}{n^2}\right|-1 &\quad \text{(perché } \ln (1+y)\approx y\text{ per } y\to 0\text{)}
\end{split}
\]
d'altra parte, dato che \(\frac{n+1}{n}\to 1\) e \(\frac{n+2}{n^2}\to 0\), definitivamente l'argomento del valore assoluto è positivo, dunque:
\[
\begin{split}
\ln \left| \frac{n+1}{n} -\frac{n+2}{n^2}\right| &\approx \frac{n+1}{n} -\frac{n+2}{n^2}-1 \\
&= \frac{n^2+n-n-2-n^2}{n^2} \\
&= -\frac{2}{n^2}
\end{split}
\]
il che equivale a dire che:
\[
\left| \ln \left| \frac{n+1}{n} -\frac{n+2}{n^2}\right| \right| \approx \frac{2}{n^2}\; .
\]
Da qui concludi col confronto asintotico.
Beh..io stavo invece implicitamente cercando di spingere l'OP ad osservare che
$sum_(n=1)^(+oo)log|(n+1)/n-(n+2)/(n^2)|=sum_(n=2)^(+oo)log|1-2/(n^2))|$(legittimo perché il primo addendo è nullo..)$=$
$=sum_(n=2)^(+oo)log(1-2/(n^2))$(ciò in conseguenza del fatto che $1-2/(n^2)>0$ $AA n in NN setminus {1}$..)$=$
$=sum_(n=2)^(+oo)log(n^2-2)/(n^2)$;
essendo poi quest'ultima serie a termini tutti negativi(in quanto è immediato avvedersi che $1-2/(n^2)<1$ $AA n in NN setminus {1}$..),
è noto che la serie data ha lo stesso carattere(a patto di scambiare tra loro gli avverbi negativamente e positivamente,in caso di divergenza..)
della serie a termini positivi
$sum_(n=2)^(+oo)-log(n^2-2)/(n^2)=sum_(n=2)^(+oo)log(n^2)/(n^2-2)=sum_(n=2)^(+oo)log(1+2/(n^2-2))$:
ed individuare il carattere di quest'ultima,per confronto asintotico con la serie armonica generalizzata d'ordine $2$ non è difficile,dai..
Saluti dal web.
$sum_(n=1)^(+oo)log|(n+1)/n-(n+2)/(n^2)|=sum_(n=2)^(+oo)log|1-2/(n^2))|$(legittimo perché il primo addendo è nullo..)$=$
$=sum_(n=2)^(+oo)log(1-2/(n^2))$(ciò in conseguenza del fatto che $1-2/(n^2)>0$ $AA n in NN setminus {1}$..)$=$
$=sum_(n=2)^(+oo)log(n^2-2)/(n^2)$;
essendo poi quest'ultima serie a termini tutti negativi(in quanto è immediato avvedersi che $1-2/(n^2)<1$ $AA n in NN setminus {1}$..),
è noto che la serie data ha lo stesso carattere(a patto di scambiare tra loro gli avverbi negativamente e positivamente,in caso di divergenza..)
della serie a termini positivi
$sum_(n=2)^(+oo)-log(n^2-2)/(n^2)=sum_(n=2)^(+oo)log(n^2)/(n^2-2)=sum_(n=2)^(+oo)log(1+2/(n^2-2))$:
ed individuare il carattere di quest'ultima,per confronto asintotico con la serie armonica generalizzata d'ordine $2$ non è difficile,dai..
Saluti dal web.
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