Risoluzione di una disuguaglianza x funzioni concave

[luca.blia]

Ciao a tutti, mi chiamo Luca e avrei urgentemente bisogno di un aiuto. La prossima settimana ho un'esame di analisi 2 e non riesco a risolvere il seguente quesito:
dati quattro punti \( x_1\leq x_2\leq x_3\leq x_4\in[0,1] \) e data \( f:[0,1]\rightarrow [0,1] \) concava e non decrescente, supposto che \( \frac{1}{2}x_1+\frac{1}{2}x_4=\frac{1}{2}x_2+\frac{1}{2}x_3 \), provare che
\[
\frac{1}{2}f(x_1)+\frac{1}{2}f(x_4)\leq \frac{1}{2}f(x_2)+\frac{1}{2}f(x_3).
\]

L'esercizio mi sembrava banale (e sicuramente lo è) ma, purtroppo, non mi riesce. Qualcuno può gentilmente aiutarmi? Mi sarebbe di grande aiuto....
Grazie a tutti e buona settimana!
Luca

[Rigel1]

Considera la funzione $g$ che coincide con $f$ fuori da $[x_2,x_3]$, mentre coincide con la funzione affine che congiunge i punti $(x_2, f(x_2))$ e $(x_3, f(x_3))$ in $[x_2, x_3]$; chiaramente questa funzione è concava in $[0,1]$.
Sia $x = (x_2+x_3)/2 = (x_1+x_4)/2$; abbiamo che
\[ \frac{f(x_2) + f(x_3)}{2} = g(x) \geq \frac{f(x_1) + f(x_4)}{2}. \]

PS: elimina "urgente" dal titolo.

[luca.blia]

Ciao Rigel, innanzitutto grazie melle della risporta, sei stato gentilissimo. Mi scuso, inoltre, per il titolo, ho provveduto a cambiarlo appena mi hai fatto notare la cosa!
Un'ultima cosa: nel testo dell'esercizio (ho modificato il post iniziale) era supposta anche l'ipotesi di non decrescenza della \( f\), che, a questo punto, è del tutto superflua giusto?
Non capisco come mai sia stata inserita, penso sia solo un'errore di stampa a questo punto...
Grazie mille ancora!
Ciao
Luca

[Rigel1]

Sì, mi sembra un'ipotesi superflua.

[luca.blia]

Infatti, grazie mille Rigel, sei stato utilissimo!