Risoluzione di una Disequazione

[influenzaobd]

Ciao ragazzi non so come risolvere questa disequazione per studiare il segno della funzione:

$ [x + e^(1/x) (x+1)] / [ x (1+e^(1/x))^2]>0 $

Il denominatore è positivo per x>0.
Non so come risolvere il numeratore..la soluzione è che la frazione è >0 sempre.

Grazie

[andra_zx]

bisogna esaminare il numeratore: $e^(1/x)(x + 1) > -x$

Allora, per $x > 0$ non ci sono dubbi, la funzione è positiva perchè il termine a sinistra della diseq. è positivo, mentre quello a destra è negativo.
Per $x < -1$ è semplice, hai a sinistra un termine negativo, e a destra uno positivo, quindi la funz. è negativa
Per $-1 < x < 0$ ti suggerisco di sostituire un paio di valori, tipo 1/2 e 1/4 e vedrai che il termine a sinistra della diseq. è costantemente minore del termine a destra, quindi la funz è di nuovo negativa.

Incrociando i risultati con quello scritto da te hai proprio che la funzione è sempre positiva..

[influenzaobd]

Grazie mille buona soluzione

[piero_1]

"andra_zx":Per $-1 < x < 0$ ti suggerisco di sostituire un paio di valori, tipo 1/2 e 1/4 e vedrai che il termine a sinistra della diseq. è costantemente minore del termine a destra, quindi la funz è di nuovo negativa.

Intendevi sicuramente -1/2 e -1/4.
Il metodo va bene per avere un'idea della soluzione (anche se mi pare un po' troppo euristico). Io userei il metodo grafico. La retta y=-x (blu) è maggiore della funzione $y=e^(1/x)*(x+1)$ per valori di x<0 (sta sopra), è minore della funzione per valori di x>0. Le conclusioni sono analoghe alle vostre. La funzione è sempre positiva, eccetto che per x=0 in cui non è definita.
[asvg]axes();
plot("exp(1/x)*(x+1)");
stroke="blue";
plot("-x");[/asvg]

[andra_zx]

si certo intendevo -1/2 e -1/4 ..