Risoluzione di un limite: riuscite a capire dove sbaglio?
Salve spero di non scocciare troppo visto che mi ripresento con un nuovo limite (c'è per caso un limite di eserciiz che si può proporre?) Adf ogni modo io questo limite l' avrò calcolato milioni di volte e mi viene sempre $e^-1$
Ma secondo il sommo derive dovrebbe essere $3/2(e^-1)$..e visto che non me la sento ancora di dare dell' incompetente al programma mi sorge il dubbio che a sbagliare sia io!!!
Scrivo i passaggi che ho fatto io così mi dite dove è che sbaglio!
$\lim_{x \to \1}(x^(1/(1-x))-e^(-x))/(x-1)$
Pongo $x-1=t$ e viene $\lim_{t\to \0}((t+1)^(1/(-t))-e^(-1-t))/(t)$
Poi trasformo in forma esponenziale e diventa $\lim_{t\to \0}(e^((1/(-t))(log(t+1))-e^(-1-t))/(t)$
A questo punto (io ho usato sia mclaurin che il prodotto notevole) uso il prodotto notevole $log(1+t)/-t$ il quale tende a $-1$ per cui il tutto tende a $e^-1$
C'è poi da calcolare la econda parte composta da $-e^(-1-t)$
Semplificando viene $\lim_{t\to \0}((e^-1-e^(-1-t)))/(t)$
Raccolgliendo il termine $e^-1$ viene $\lim_{t\to \0}((e^-1(1-e^-t)))/(t)$
Sviluppo e viene $e^-1(1-(1-t+o(t))$ che diventa $e^-1t$
A questo punto si arriva alla fine e il limite si presenta in questa forma $\lim_{t\to \0}(e^-1t)/(t)$
Che tende ovviamente a $e^-1$.. Dove sbaglio??? Grazie per l' aiuto!
Ma secondo il sommo derive dovrebbe essere $3/2(e^-1)$..e visto che non me la sento ancora di dare dell' incompetente al programma mi sorge il dubbio che a sbagliare sia io!!!
Scrivo i passaggi che ho fatto io così mi dite dove è che sbaglio!
$\lim_{x \to \1}(x^(1/(1-x))-e^(-x))/(x-1)$
Pongo $x-1=t$ e viene $\lim_{t\to \0}((t+1)^(1/(-t))-e^(-1-t))/(t)$
Poi trasformo in forma esponenziale e diventa $\lim_{t\to \0}(e^((1/(-t))(log(t+1))-e^(-1-t))/(t)$
A questo punto (io ho usato sia mclaurin che il prodotto notevole) uso il prodotto notevole $log(1+t)/-t$ il quale tende a $-1$ per cui il tutto tende a $e^-1$
C'è poi da calcolare la econda parte composta da $-e^(-1-t)$
Semplificando viene $\lim_{t\to \0}((e^-1-e^(-1-t)))/(t)$
Raccolgliendo il termine $e^-1$ viene $\lim_{t\to \0}((e^-1(1-e^-t)))/(t)$
Sviluppo e viene $e^-1(1-(1-t+o(t))$ che diventa $e^-1t$
A questo punto si arriva alla fine e il limite si presenta in questa forma $\lim_{t\to \0}(e^-1t)/(t)$
Che tende ovviamente a $e^-1$.. Dove sbaglio??? Grazie per l' aiuto!
Risposte
Sviluppa in serie log(1+t) e fermati al termine di ordine 2; quindi semplifica la frazione e ottieni exp(t/2-1); raccogli e^(-1)
e ti resta e^(t/2)-e^(-t); con un ulteriore sviluppo in serie o con de L'Hospital, concludi che il limite è 3/2.
Caio
e ti resta e^(t/2)-e^(-t); con un ulteriore sviluppo in serie o con de L'Hospital, concludi che il limite è 3/2.
Caio
Ok problema risolto mi viene il limite anche se ancora non hoo capito per quale motivo usando lo sviluppo di tayor mi viene e invece se uso il limite notevole $log(1+t)/t$ non mi viene...
Se qualcuno sa spiegarmelo gliene sarei moto grato!
Se qualcuno sa spiegarmelo gliene sarei moto grato!
I due procedimenti sono equivalenti solo che non puoi utilizzare il limite notevole, lasciando inalterato il secondo addendo del numeratore; se tu avessi [[log(1+t)/t]-1]/t e utilizzassi il limite notevole senza far tendere anche il denominatore a 0 il limite sarebbe banalmente 0 mentre il limite di quella funzione è -1/2.
Ah ma certo che sciocco il cosidetto limite in due tempi!!!! grazie per avermi fatto capire!!!! Che errore che ho fatto!!!!
Ho un ultimo dubbio però!! Per quale motivo sviluppando $log(1+t)$ al primo ordine e pure $e^(t-1)$ al primo non viene una forma indeterminata e quindi il limite dice che tende a $-e^-1$?
Prometto che è l' ultima domanda!!!!
Ho un ultimo dubbio però!! Per quale motivo sviluppando $log(1+t)$ al primo ordine e pure $e^(t-1)$ al primo non viene una forma indeterminata e quindi il limite dice che tende a $-e^-1$?
Prometto che è l' ultima domanda!!!!
Se ti fermi con lo sviluppo al prim'ordine il numeratore si annulla: infatti viene e^(-1)-e^(-1)=0; quindi devi proseguire con i termini di ordine 2.
No ma se sviluppo $log(1+t)$ al primo ordine cioè solo con $t+o(t)$ e invece la seconda parte del numeratore, cioè $e^(-1-t)$, al primo così $e^-1(1-t+o(t))$, non si annulla il denominatore perchè viene $((e^((-1/t)(t+o(t))-e^-1(1-t+o(t)))/t$
Ah cmq sei un santo!!!grazie per la pazienza!!!
Ah cmq sei un santo!!!grazie per la pazienza!!!
O.K però nel primo sviluppo quell'o(t)/t ti fornisce un termine di 1° grado che non puoi trascurare dal momento che consideri, giustamente, il termine di 1° grado della seconda parte del numeratore.
"ggallo":
O.K però nel primo sviluppo quell'o(t)/t ti fornisce un termine di 1° grado che non puoi trascurare dal momento che consideri, giustamente, il termine di 1° grado della seconda parte del numeratore.
Ma fammi capire sei un professore????' Sei un grande grazie ho capito perfettamente!
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