Risoluzione di un limite in due variabili
Salve ragazzi,
sembra banale ma sto avendo dei problemi nella risoluzione del seguente limite in due variabili:
$\lim_{(x,y) \to (0,-\frac{1}{2})}x\frac{e^{sqrt{2y+1}}}{sqrt{2y+1}}$.
Con un opportuno cambio di variabili il limite può essere riscritto nella forma più semplice:
$\lim_{(x,z) \to (0,0)}x\frac{e^{z}}{z}$.
Grazie in anticipo.
sembra banale ma sto avendo dei problemi nella risoluzione del seguente limite in due variabili:
$\lim_{(x,y) \to (0,-\frac{1}{2})}x\frac{e^{sqrt{2y+1}}}{sqrt{2y+1}}$.
Con un opportuno cambio di variabili il limite può essere riscritto nella forma più semplice:
$\lim_{(x,z) \to (0,0)}x\frac{e^{z}}{z}$.
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao! Dopo aver effettuato il cambio di variabile, prova a considerare le due restrizioni $(x,x)$ e $(x,2x)$.
Prego! No, non esiste:
$$\lim_{x \to 0} f(x,x)=\lim_{x \to 0} x \frac{e^x}{x}=1$$
$$\lim_{x \to 0} f(x,2x)=\lim_{x \to 0} x \frac{e^{2x}}{2x}=\frac{1}{2}$$
Edit: Per cortesia, non cancellare i messaggi o la discussione diventa delirante.
$$\lim_{x \to 0} f(x,x)=\lim_{x \to 0} x \frac{e^x}{x}=1$$
$$\lim_{x \to 0} f(x,2x)=\lim_{x \to 0} x \frac{e^{2x}}{2x}=\frac{1}{2}$$
Edit: Per cortesia, non cancellare i messaggi o la discussione diventa delirante.
Grazie mille per la risposta ma purtroppo non riesco a capire una cosa:
Se carico su wolfram alpha il primo limite (quello nelle variabili x e y con la radice) mi viene 0 mentre quello in z (correttamente come hai dimostrato) non esiste.
Come mai? Non capisco, non è lecito effettuare la sostituzione?
Se carico su wolfram alpha il primo limite (quello nelle variabili x e y con la radice) mi viene 0 mentre quello in z (correttamente come hai dimostrato) non esiste.
Come mai? Non capisco, non è lecito effettuare la sostituzione?
Prego! La sostituzione è valida, semplicemente non devi fidarti appieno dei calcolatori. Sono strumenti e bisogna saperli usare.
Per dire, se $y$ tende a $-1/2$ da sinistra allora la radice è un numero complesso; questo sicuramente Wolfram lo tiene in conto e ciò sparisce nel momento in cui fai il limite in $z$ su Wolfram (che non ha memoria del fatto che $z$ è in realtà una radice quadrata). Quindi dovrebbe essere $z \to 0^+$.
In ogni caso, il consiglio è imparare a ragionare in astratto e imparare a distinguere un ragionamento astratto corretto da uno sbagliato; non ti fa bene invece fidarti di un calcolatore. Se vuoi un altro esempio: hai che $\sin x \ge -1$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ e, per crescente monotonia dell'esponenziale in base $>1$, ne segue che $e^{\sin x} \ge e^{-1]$. Assumi $x>0$, dunque $xe^{\sin x} \ge xe^{-1}$ e quindi $\lim_{x \to \infty} xe^{\sin x} \ge \lim_{x \to \infty} xe^{-1}=\infty$; pertanto, per confronto, è $\lim_{x \to\infty} xe^{\sin x}=\infty$. Prova a far calcolare $\lim_{x \to\infty} xe^{\sin x}$ a Wolfram e vedi cosa ti dice.
Per dire, se $y$ tende a $-1/2$ da sinistra allora la radice è un numero complesso; questo sicuramente Wolfram lo tiene in conto e ciò sparisce nel momento in cui fai il limite in $z$ su Wolfram (che non ha memoria del fatto che $z$ è in realtà una radice quadrata). Quindi dovrebbe essere $z \to 0^+$.
In ogni caso, il consiglio è imparare a ragionare in astratto e imparare a distinguere un ragionamento astratto corretto da uno sbagliato; non ti fa bene invece fidarti di un calcolatore. Se vuoi un altro esempio: hai che $\sin x \ge -1$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ e, per crescente monotonia dell'esponenziale in base $>1$, ne segue che $e^{\sin x} \ge e^{-1]$. Assumi $x>0$, dunque $xe^{\sin x} \ge xe^{-1}$ e quindi $\lim_{x \to \infty} xe^{\sin x} \ge \lim_{x \to \infty} xe^{-1}=\infty$; pertanto, per confronto, è $\lim_{x \to\infty} xe^{\sin x}=\infty$. Prova a far calcolare $\lim_{x \to\infty} xe^{\sin x}$ a Wolfram e vedi cosa ti dice.
Grazie mille per aver risolto il mio dubbio. In effetti partivo con la presupposizione (errata) di wolfram che il limite era 0 ma non riuscivo a provarlo con opportune maggiorazioni.
P.S. Sì mi restituisce indefinito wolfram.
P.S. Sì mi restituisce indefinito wolfram.
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