Risoluzione di un Limite di funzione logaritmica

[meli931]

Ciao a tutti!
Vi scrivo per sapere se esiste un modo più semplice per risolvere questo limite (il risultato deve essere zero).
$lim_(x -> 0) logx*log(x^2+x+1)$
Io ho operato come segue.
Ho riscritto il limite in questa forma:
$=lim_(x -> 0) (log(x^2+x+1)/1)/logx$
Poi ho applicato l'Hopital:
$=lim_(x -> 0) ((2x+1)/(x^2+x+1))/(-1/(xlog^2x))=$ $lim_(x -> 0) 1/(-1/(xlog^2x))$
Alla fine mi ritrovo $-xlog^2x$ lo moltiplico per $(x/x)$, in modo da poter ricondurre il limite a due limiti notevoli
$=lim_(x -> 0) -xlog^2x=$ $lim_(x -> 0)-(xlog^2x)*(x)/x=$ $lim_(x -> 0)-(x^2logx)*lim_(x -> 0)(logx/x)$
Questi ultimi sono due limiti notevoli e valgono entrambi zero, dunque il limite risulta uguale a Zero.
Ho sbagliato qualcosa? Sono sicura che esisterà un modo meno laborioso per risolverlo, ma io non l'ho trovato.
Grazie in anticipo

[meli931]

Mi sono accorta di un errore clamoroso il limite notevole per $logx/x$ vale zero per $x$ che tende a infinito, quindi sono punto da capo!
Dato che mi ritrovo $-xlog^2x$ posso approssimarlo al limite notevole $lim_(x->0)xlogx=0$ e farlo valere comunque zero?!

[Crasti1]

ciao!

magari hai già risolto ma provo lo stesso

ti dice qualcosa il limite notevole $lim_(t->0)(log(1+t))/t$ $=1$?

vale anche se al posto di $t$ metto una f(x) infinitesima.... come per esempio(un esempio a caso ) $f(x)=x^2 + x$

[meli931]

Grazie, Crasti Scusa se ti rispondo solo adesso, ma non avevo letto la tua risposta!
Comunque alla fine anch'io l'ho risolto in modo simile al tuo, solo che ho usato il confronto locale al posto della sostituzione.

Ho considerato che $x^2+x ~= x$ per $x->0$

Quindi ho risolto in questo modo

$lim_(x->0) logxlog(x+1) = lim_(x->0) logxlog(x+1) (x/x) = lim_(x->0) xlogx lim_(x->0)log(1+x)/x = 0*1 = 0$

Può andare così, o il procedimento non è corretto?

[Crasti1]

va benissimo