Risoluzione di un limite
Salve a tutti,
sto ripassando i limiti e ho incontrato questo:
$lim_(x->1)(x-1)/(sen(\pix))$
mi è sembrato semplice (credo che comunque in effetti lo sia), ho proceduto con un cambio variabile in questo modo:
$t=x-1 , t->0 , x=t+1$
e ho ottenuto:
$lim_(t->0)t/(sen(\pi(t+1)))$
a questo punto, ho proceduto sfruttando i limiti notevoli, perchè ancora non posso usare De L'Hospital:
$lim_(t->0)(t/(t+1))/((sen(\pi(t+1)))/(t+1)) = $
$=lim_(t->0)t/(t+1) : lim_(t->0)(sen(\pi(t+1)))/(t+1) = 0 : \pi = 0 $
poi sono andata a vedere la soluzione, ed è $ -(1/\pi)$.
Il procedimento mi sembrava giusto, ma evidentemente non lo è, dove sbaglio?
Grazie in anticipo
Valentina
sto ripassando i limiti e ho incontrato questo:
$lim_(x->1)(x-1)/(sen(\pix))$
mi è sembrato semplice (credo che comunque in effetti lo sia), ho proceduto con un cambio variabile in questo modo:
$t=x-1 , t->0 , x=t+1$
e ho ottenuto:
$lim_(t->0)t/(sen(\pi(t+1)))$
a questo punto, ho proceduto sfruttando i limiti notevoli, perchè ancora non posso usare De L'Hospital:
$lim_(t->0)(t/(t+1))/((sen(\pi(t+1)))/(t+1)) = $
$=lim_(t->0)t/(t+1) : lim_(t->0)(sen(\pi(t+1)))/(t+1) = 0 : \pi = 0 $
poi sono andata a vedere la soluzione, ed è $ -(1/\pi)$.
Il procedimento mi sembrava giusto, ma evidentemente non lo è, dove sbaglio?
Grazie in anticipo
Valentina
Risposte
Il problema è che $lim_(t->0)(sin(\pi(t+1)))/(t+1) = sin(pi)/1=0$, mentre tu affermi che fa $pi$.
Quindi putroppo hai ancora una forma indeterminata
Io ripartirei da qui: $lim_(t->0)t/(sen(\pi(t+1)))$ e sfrutterei la formula di addizione del seno: $sin(pi(t+1))=sin(tpi+ pi)= sin(tpi)cospi +cos(tpi)sin(pi)= -sin(tpi)$
Quindi putroppo hai ancora una forma indeterminata
Io ripartirei da qui: $lim_(t->0)t/(sen(\pi(t+1)))$ e sfrutterei la formula di addizione del seno: $sin(pi(t+1))=sin(tpi+ pi)= sin(tpi)cospi +cos(tpi)sin(pi)= -sin(tpi)$
Allora \(\displaystyle y=x-1 \) e quindi \(\displaystyle x= y+1 \), ora \(\displaystyle y \rightarrow 0 \); sostituendo hai:
\(\displaystyle \frac{y}{sen(y\pi + \pi)} \) con gli archi associati puoi facilmente vedere che è come scrivere:
\(\displaystyle \frac{y}{-sen(y\pi)} \) ora per ricondurti al limite notevole moltiplichi e dividi tutto ciò per \(\displaystyle \pi \),
ed avrai:
\(\displaystyle -\frac{y\pi}{sen(y\pi)} \frac{1}{\pi} \)\(\displaystyle = \) \(\displaystyle -1 \frac{1}{\pi} \)\(\displaystyle = \)\(\displaystyle -\frac{1}{\pi} \)
\(\displaystyle \frac{y}{sen(y\pi + \pi)} \) con gli archi associati puoi facilmente vedere che è come scrivere:
\(\displaystyle \frac{y}{-sen(y\pi)} \) ora per ricondurti al limite notevole moltiplichi e dividi tutto ciò per \(\displaystyle \pi \),
ed avrai:
\(\displaystyle -\frac{y\pi}{sen(y\pi)} \frac{1}{\pi} \)\(\displaystyle = \) \(\displaystyle -1 \frac{1}{\pi} \)\(\displaystyle = \)\(\displaystyle -\frac{1}{\pi} \)
Il limite notevole è $\lim_{x\to 0} (sen x)/x =1$. Quindi a denominatore e come argomento del seno ci deve essere la stessa cosa, ma soprattutto questa cosa deve tendere a 0. Nel tuo caso avresti, con il cambio di variabile $z=\pi(t+1)$:
$\lim_{z\to \pi} (sen(z))/z$
e guarda dove va a tendere $z$.
Un'idea che mi viene è di provare a fare prima il cambio di variabile $\pi x = t$ e poi usare le formule di addizione su $sen t = sen((t-\pi) +\pi)$ e poi cercare di usare i limiti notevoli.
Paola
$\lim_{z\to \pi} (sen(z))/z$
e guarda dove va a tendere $z$.
Un'idea che mi viene è di provare a fare prima il cambio di variabile $\pi x = t$ e poi usare le formule di addizione su $sen t = sen((t-\pi) +\pi)$ e poi cercare di usare i limiti notevoli.
Paola
attendi i veterani per la conferma del mio limite...
@davidedesantis: hai fatto tutto bene.
Io avevo avuto l'idea della formula di addizione, ma la tua idea degli archi associati è migliore: arriviamo entrambi al risultato, ma tu fai meno passaggi
Io avevo avuto l'idea della formula di addizione, ma la tua idea degli archi associati è migliore: arriviamo entrambi al risultato, ma tu fai meno passaggi
Benissimo, ho risolto con gli archi associati e poi dividendo per t sia numeratore che denominarore. Grazie mille a tutti, volevo chiedere una cosa a Gi8: ok ripartire da dove hai detto tu, ma riguardo invece a quello che hai detto prima, si può semplificare in quel modo $t+1$ in
$lim_(t->0)(sen(\pi(t+1)))/(t+1)$ ?
Non sarebbe come fare $lim_(x->x_0)(sen(k(x)))/x = lim_(x->x_0) senk $ ? Credevo che non si potesse fare...
Invece mi rivolgo a Paola: il limite notevole che io avevo pensato di usare era $lim_(x->0)(senkx)/x = k$, quindi se è così perchè non andava bene fare $lim_(t->0)(sen(\pi(t+1)))/(t+1) = \pi$ ? perchè al posto di (t+1) ci doveva essere solo t? E quindi ad esempio, dire $lim_(x->0)(senkx)/(kx) = 1$ è sbagliato?
$lim_(t->0)(sen(\pi(t+1)))/(t+1)$ ?
Non sarebbe come fare $lim_(x->x_0)(sen(k(x)))/x = lim_(x->x_0) senk $ ? Credevo che non si potesse fare...
Invece mi rivolgo a Paola: il limite notevole che io avevo pensato di usare era $lim_(x->0)(senkx)/x = k$, quindi se è così perchè non andava bene fare $lim_(t->0)(sen(\pi(t+1)))/(t+1) = \pi$ ? perchè al posto di (t+1) ci doveva essere solo t? E quindi ad esempio, dire $lim_(x->0)(senkx)/(kx) = 1$ è sbagliato?
Non è assolutamente vero che $lim_(x->0) sin(kx)/x=sin(k)$ Chi te l'ha detta 'sta roba?
Se fosse vero, allora prendiamo $k=1$:
avremmo che $lim_(x->0) sinx/x=sin(1) sim 0.841470985$, mentre sappiamo che $lim_(x->0)sinx/x=1$
Se fosse vero, allora prendiamo $k=1$:
avremmo che $lim_(x->0) sinx/x=sin(1) sim 0.841470985$, mentre sappiamo che $lim_(x->0)sinx/x=1$
Lo so che non è così, però mi sembrava che prima quando avevi scritto che $lim_(t->0)(sin(\pi(t+1)))/(t+1) = sin(pi)/1=0$ potessi aver fatto una semplificazione del genere e mi era sembrato strano, infatti te l'ho chiesto... Aaaaaaah ok ho appena capito, che stupida, avevi solo sostituito 0 alla t! Ti chiedo scusa immensamente, meno male che è solo così, mi era venuto l'orribile dubbio che quella "cosa" (chiamiamola così!!) potesse essere vera, e se fosse stato così mi sarebbe caduto un pilastro!
Ti ringrazio moltissimo!
Ti ringrazio moltissimo!
Ah, ok. Tutto chiaro ora
Provo a rispondere anche alla domanda che hai rivolto a Paola (sperando di non fare cosa sgradita)
Se hai $lim_(t->0) sin(k(t+1))/(t+1)$ non hai una forma indeterminata del tipo $0/0$, perchè sostituendo ottieni $sink/1$.
Dunque in questo caso non passi per il limite notevole $lim_(x->0)sinx/x=1$
Provo a rispondere anche alla domanda che hai rivolto a Paola (sperando di non fare cosa sgradita)
"valentina92":Esatto.
perchè non andava bene fare $lim_(t->0)(sen(\pi(t+1)))/(t+1) = \pi$ ? perchè al posto di $t+1$ ci doveva essere solo $t$?
Se hai $lim_(t->0) sin(k(t+1))/(t+1)$ non hai una forma indeterminata del tipo $0/0$, perchè sostituendo ottieni $sink/1$.
Dunque in questo caso non passi per il limite notevole $lim_(x->0)sinx/x=1$
"valentina92":No, quello è giusto. Qui si passa per il limite notevole che ho scritto or ora.
E quindi ad esempio, dire $lim_(x->0)(senkx)/(kx) = 1$ è sbagliato?
E' cosa graditissima! Ho capito, spesso (come avrai intuito) vado a incastrarmi in chissà che calcoli o metodi strani, dimenticandomi di provare solo a sostituire. Grazie ancora, e buone feste
Non preoccuparti, devi solo prenderci un po' la mano.
Buone feste anche a te. Ciao!
Buone feste anche a te. Ciao!
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