Risoluzione di un limite

[Gh3rra]

Ciao a tutti sapreste dimostrarmi i passaggi per la risoluzione di questo limite?

$\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2+n}\cdot \frac{1}{e^n}$

Io scomponendo l'esponente del primo membro mi trovo così:

$\lim_{n\to \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]^{n}\cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\cdot \frac{1}{e^n}=e^{\infty}\cdot e \cdot e^{-\infty}=\infty\cdot e \cdot 0$

[gabriella127]

Secondo ti è sfuggita una bella drastica semplificata prime di passare al limite, ma ci sei.

[Gh3rra]

@gabriella127
Quindi avresti consigli su come risolverlo?

[gabriella127]

No scusami tanto, cancella quello che ho detto, avevo letto male il testo, sto un po' cecata

[pilloeffe]

Ciao Gh3rra,

Farei così:

$ \lim_{n \to +\infty}(1+\frac{1}{n})^{n^2+n}\cdot \frac{1}{e^n} = \lim_{n \to +\infty} e^{(n^2+n) ln(1 + 1/n)} \cdot e^{- n} = \lim_{n \to +\infty} e^{(n^2+n) ln(1 + 1/n) - n} $

Adesso concentriamoci sull'esponente. Ricordando lo sviluppo in serie $ln(1 + x) = x - x^2/2 + x^3/3+ o(x^3) $ che vale per $|x| < 1 $ e nel nostro caso $x := 1/n < 1 $ per $n \to +\infty $, trascurando $o$ si ha:

$ \lim_{n \to +\infty} [(n^2+n)(1/n - 1/(2n^2) + 1/(3 n^3)) - n] = $
$ = \lim_{n \to +\infty} [n - 1/(2) + 1/(3n) + 1 - 1/(2n) + 1/(3n^2) - n] = $
$ = \lim_{n \to +\infty} [1/2 + 1/(3n) - 1/(2n) + 1/(3n^2)] = 1/2 $

Pertanto il risultato del limite proposto è $\sqrt{e}$:

$ \lim_{n \to +\infty}(1+\frac{1}{n})^{n^2+n}\cdot \frac{1}{e^n} = \lim_{n \to +\infty} e^{(n^2+n) ln(1 + 1/n)} \cdot e^{- n} = \lim_{n \to +\infty} e^{(n^2+n) ln(1 + 1/n) - n} = e^{1/2} = \sqrt{e} $