Risoluzione di un limite

Ragazzi non riesco proprio a capire come fa ad arrivare a quel risultato.
Premettendo che la funzione di partenza è:
$ f(x)=sqrt(x(x^2-1)) $
Nel calcolo degli asintoti proseguo:
$ sqrt(x(x^2-1))*1/x $ per $ x->infty $ $ = 1 $
Ora per l'obliquo razionalizzando:
$ lim _(x->infty)sqrt(x(x^2-1))-x = lim _(x->infty)(x(x^2-1)-x^2)/(sqrt(x(x^2-1))+x) $
Mi trovo che fa infinito (come wolfram) il prof si trova 0 però.
Risposte
Beh, un limite notevole è \[\lim_{t\to0}\frac{(1+t)^\alpha-1}{t}=\alpha,\>\alpha\in\mathbb{R}\]Perciò:\[\lim_{x\to\pm\infty}x\left(\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}-1\right)=-\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}-1}{-\frac{1}{x^2}}=-\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x}\cdot\lim_{t\to0^-}\frac{(1+t)^{{}^1\!/\!_2}-1}{t}=0\]Il tuo professore, a occhio, fa uno sviluppo in serie di Taylor.
non l'avevo proprio individuato, dannazione.
Grazie mille!
Grazie mille!
Infine mi sa proprio che \(f(x)=\sqrt[3]{x(x^2-1)}\), ma il valore di questo limite non cambia.
P.S. In effetti si poteva pure razionalizzare:\[\begin{align*}\lim_{x\to\pm\infty}\left(\sqrt[3]{x(x^2-1)}-x\right)&=\lim_{x\to\pm\infty}\left(\sqrt[3]{x(x^2-1)}-x\right)\frac{\left[x(x^2-1)\right]^{{}^2\!/\!_3}+x\sqrt[3]{x(x^2-1)}+x^2}{\left[x(x^2-1)\right]^{{}^2\!/\!_3}+x\sqrt[3]{x(x^2-1)}+x^2}\\&=-\lim_{x\to\pm\infty}\frac{{}^1\!/\!_x}{\left(1-{}^1\!/\!_{x^2}\right)^{{}^2\!/\!_3}+\left(1-{}^1\!/\!_{x^2}\right)^{{}^1\!/\!_3}+1}=0\end{align*}\]
P.S. In effetti si poteva pure razionalizzare:\[\begin{align*}\lim_{x\to\pm\infty}\left(\sqrt[3]{x(x^2-1)}-x\right)&=\lim_{x\to\pm\infty}\left(\sqrt[3]{x(x^2-1)}-x\right)\frac{\left[x(x^2-1)\right]^{{}^2\!/\!_3}+x\sqrt[3]{x(x^2-1)}+x^2}{\left[x(x^2-1)\right]^{{}^2\!/\!_3}+x\sqrt[3]{x(x^2-1)}+x^2}\\&=-\lim_{x\to\pm\infty}\frac{{}^1\!/\!_x}{\left(1-{}^1\!/\!_{x^2}\right)^{{}^2\!/\!_3}+\left(1-{}^1\!/\!_{x^2}\right)^{{}^1\!/\!_3}+1}=0\end{align*}\]