Risoluzione di un limite

[stositoobbligalamiaregistrazione]

$ lim_(x->infty)sqrt(x^3/(x-2))-x $
Sapreste darmi qualche dritta su questo tipo di limiti? Compare spesso nel calcolo dell'asintoto obliquo

[pilloeffe]

Ciao Matteo2598,

Prova a moltiplicare numeratore e denominatore per $sqrt{frac{x^3}{x - 2}} + x $

[seb1]

Per \(x\to-\infty\) non ci sono problemi, no? Per \(x\to+\infty\) io mi ricondurrei al limite notevole \[\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha,\>\alpha\in\mathbb{R}\]facendo così (ricordandoci che \(x>0\)):\[\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{\frac{x^3}{x-2}}-x\right)=\lim_{x\to+\infty}(x+2-2)\left(\sqrt{1+\frac{2}{x-2}}-1\right)=2\left[\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(1+\frac{2}{x-2}\right)^{\frac{1}{2}}-1}{\frac{2}{x-2}}+\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{1+\frac{2}{x-2}}-1\right)\right]=2\lim_{t\to0^+}\frac{(1+t)^\frac{1}{2}-1}{t}=1\]

[pilloeffe]

Ciao seb,

"seb":Per $x \to -infty $ non ci sono problemi, no?

Beh direi proprio di no, si vede subito che per $x \to -\infty $ il risultato del limite proposto è $+\infty $

La tua soluzione è molto ingegnosa, a parte che avrei messo il primo limite all'interno della parentesi quadra (anzi, a dire il vero non avrei proprio messo la parentesi quadra e avrei moltiplicato per $2$ il primo ed il secondo limite... ).
In realtà però non era neanche necessario ricorrere ai limiti notevoli:

$ lim_{x \to +\infty} sqrt(x^3/(x-2))-x = lim_{x \to +\infty} frac{(sqrt(x^3/(x-2))-x)(sqrt(x^3/(x-2))+x)}{sqrt(x^3/(x-2))+x} = lim_{x \to +\infty} frac{x^3/(x-2)-x^2}{sqrt(x^3/(x-2))+x} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{(2x^2)/(x-2)}{sqrt(x^3/(x-2))+x} = lim_{x \to +\infty} frac{2x^2}{(x - 2)(sqrt(x^3/(x-2))+x)} = lim_{x \to +\infty} frac{2x^2}{(x - 2)(x sqrt(x/(x-2))+x)} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{2x^2}{(x^2 - 2x)(sqrt(x/(x-2))+1)} = lim_{x \to +\infty} frac{2x^2}{x^2 - 2x} \cdot lim_{x \to +\infty} frac{1}{sqrt(x/(x-2))+1} = 2 \cdot frac{1}{1 + 1} = 1 $

[seb1]

Sì, avevo visto la tua proposta di risoluzione; stavo solamente proponendo un'altra via, nulla più.