Risoluzione di un limite
Ciao, sto ripassando le serie di potenze e per risolverle devo riuscire a fare i limiti. Facendo gli esercizi sono arrivato a questo:
[tex]\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{2^{n+1}+e^{-(n+1)}}{3^{2n+2}+n+1}*\frac{3^{2n}+n}{2^n+e^{-2}}[/tex]
Alla mia professoressa ed a wolfram alpha viene fuori [tex]=\frac{2}{9}[/tex]
Come ha fatto ad ottemere questo risultato? Grazie!!
[tex]\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{2^{n+1}+e^{-(n+1)}}{3^{2n+2}+n+1}*\frac{3^{2n}+n}{2^n+e^{-2}}[/tex]
Alla mia professoressa ed a wolfram alpha viene fuori [tex]=\frac{2}{9}[/tex]
Come ha fatto ad ottemere questo risultato? Grazie!!
Risposte
\( \frac{2^{n+1}+e^{-(n+1)}}{3^{2n+2}+n+1}*\frac{3^{2n}+n}{2^n+e^{-2}} \)
basta fare qualche osservazione ed eliminare i termini che vengono sovrastati da altri nella corsa ad infinito e quindi sono definitivamente inutili. Tale "eliminazione" in realtà avviene mediante un massiccio uso degli O grandi, a cui, come vedremo, sopravvivranno solo le due esponenziali, solo per essere prontamente semplificate e lasciare solo il tuo risultato.
intanto, riscrivi $2^(n+1) = 2*2^n$ e $3^(2n+2) = 9 * 9^n$. Osserva poi che $e^(-(n+1)) -> 0 text( per ) n->+infty$, quindi è ovvio che $lim_(n->+infty) e^(-(n+1))/2^(n+1) = 0$, da cui abbiamo la nostra prima vittima del sempre affamato O grande di $2^x$. All'atto pratico quindi possiamo sostituire $e^(-(n+1))$, ormai condannato, con la dicitura $O(2^x)$, ma in realtà è un'operazione superflua in quanto ci interessa solo il calcolo del limite, quindi possiamo, solo per stavolta, cancellarlo in simpatia.
Lascio a te convincerti che lo stesso avvenga tra $n+1$ e $3^(2n+2)$, come pure tra $n$ e $3^(2n)$ e infine tra $e^(-2)$ e $2^n$.
Eliminati tutti i termini in questione rimarrà quindi
$lim_(n->+infty) (2*2^n)/(9*9^n) * (9^n)/(2^n) = 2/9$, c.v.d.
Spero di non aver esagerato con l'ironia a scapito della chiarezza (o peggio ancora, della correttezza). Sento gli occhi di dissonance che mi guardano ogni volta che scrivo su questo forum, e temo per la mia autostima. Ma tant'è, spero anche di averti aiutato
basta fare qualche osservazione ed eliminare i termini che vengono sovrastati da altri nella corsa ad infinito e quindi sono definitivamente inutili. Tale "eliminazione" in realtà avviene mediante un massiccio uso degli O grandi, a cui, come vedremo, sopravvivranno solo le due esponenziali, solo per essere prontamente semplificate e lasciare solo il tuo risultato.
intanto, riscrivi $2^(n+1) = 2*2^n$ e $3^(2n+2) = 9 * 9^n$. Osserva poi che $e^(-(n+1)) -> 0 text( per ) n->+infty$, quindi è ovvio che $lim_(n->+infty) e^(-(n+1))/2^(n+1) = 0$, da cui abbiamo la nostra prima vittima del sempre affamato O grande di $2^x$. All'atto pratico quindi possiamo sostituire $e^(-(n+1))$, ormai condannato, con la dicitura $O(2^x)$, ma in realtà è un'operazione superflua in quanto ci interessa solo il calcolo del limite, quindi possiamo, solo per stavolta, cancellarlo in simpatia.
Lascio a te convincerti che lo stesso avvenga tra $n+1$ e $3^(2n+2)$, come pure tra $n$ e $3^(2n)$ e infine tra $e^(-2)$ e $2^n$.
Eliminati tutti i termini in questione rimarrà quindi
$lim_(n->+infty) (2*2^n)/(9*9^n) * (9^n)/(2^n) = 2/9$, c.v.d.
Spero di non aver esagerato con l'ironia a scapito della chiarezza (o peggio ancora, della correttezza). Sento gli occhi di dissonance che mi guardano ogni volta che scrivo su questo forum, e temo per la mia autostima. Ma tant'è, spero anche di averti aiutato
Grazie per la risposta, qualcosina ho capito (cioè: [tex]e^{-(n+1)} -> 0[/tex] per [tex]n-> +\infty)[/tex]
Non ho ben capito come sei arrivato a scrivere ciò, visto che hai diviso 2 termini che si trovano al denominatore:
[tex]\lim_{n->\infty} \frac{e^{-(n+1)}}{2^{n+1}}=0[/tex]
PS: se non ti disturbo, potresti risolvermela tutta?
Grazie ancora una volta e chiedo venia per la mia ignoranza
Non ho ben capito come sei arrivato a scrivere ciò, visto che hai diviso 2 termini che si trovano al denominatore:
[tex]\lim_{n->\infty} \frac{e^{-(n+1)}}{2^{n+1}}=0[/tex]
PS: se non ti disturbo, potresti risolvermela tutta?
Grazie ancora una volta e chiedo venia per la mia ignoranza
basta che osservi quattro cose: $n+1 > 0$, $e^n ->+ infty text( se ) n->+infty$, $e^(-(n+1)) = 1/e^(n+1)$ e pertanto $e^(-(n+1))/2^(n+1)=1/(e^(n+1)2^(n+1))$.
In realtà è lo stesso se osservi semplicemente che $e^(-(n+1))$ tende a 0, ma vabbè...
Quanto al limite "grosso" non rimane molto da fare, basta che elimini i termini ininfluenti e scrivi gli esponenziali (che sono gli unici a rimanere) come ti ho detto. Comunque i passaggi sono questi:
$ \frac{2^{n+1}+e^{-(n+1)}}{3^{2n+2}+n+1}*\frac{3^{2n}+n}{2^n+e^{-2}} ~~ (2^(n+1))/9^(n+1) * 9^n/2^n = (2*2^n)/(9*9^n) * 9^n/2^n =^text(semplificazione) 2/9$, e quindi il limite vale $2/9$.
Ovviamente il passaggio chiave è il primo. Se non vuoi usare $~~$ (che significa "asintotico a") puoi usare gli O grandi e scrivere $ \frac{2^{n+1}+e^{-(n+1)}}{3^{2n+2}+n+1}*\frac{3^{2n}+n}{2^n+e^{-2}} = (2^(n+1) + O(2^n))/(9^(n+1) + O(3^n)) * (9^n + O(3^n))/(2^n + O(2^n))$. Poi passi al limite e quindi tutti gli O grandi scompaiono nelle somme: $lim_(n->+infty) (2^(n+1) + O(2^n))/(9^(n+1) + O(3^n)) * (9^n + O(3^n))/(2^n + O(2^n)) = lim_(n->+infty) (2^(n+1))/9^(n+1) * 9^n/2^n$ e quindi prosegui come prima.
Se ti chiedi perchè sompaiano gli O grandi considera ad esempio $2^(n+1) + O(2^n)$: informalmente, al finito significa "$2^n$ più qualcosa che va ad infinito più lentamente di $2^n$". Perciò se passi all'infinito quel qualcosa "più lento" viene eclissato e scompare.
In realtà è lo stesso se osservi semplicemente che $e^(-(n+1))$ tende a 0, ma vabbè...
Quanto al limite "grosso" non rimane molto da fare, basta che elimini i termini ininfluenti e scrivi gli esponenziali (che sono gli unici a rimanere) come ti ho detto. Comunque i passaggi sono questi:
$ \frac{2^{n+1}+e^{-(n+1)}}{3^{2n+2}+n+1}*\frac{3^{2n}+n}{2^n+e^{-2}} ~~ (2^(n+1))/9^(n+1) * 9^n/2^n = (2*2^n)/(9*9^n) * 9^n/2^n =^text(semplificazione) 2/9$, e quindi il limite vale $2/9$.
Ovviamente il passaggio chiave è il primo. Se non vuoi usare $~~$ (che significa "asintotico a") puoi usare gli O grandi e scrivere $ \frac{2^{n+1}+e^{-(n+1)}}{3^{2n+2}+n+1}*\frac{3^{2n}+n}{2^n+e^{-2}} = (2^(n+1) + O(2^n))/(9^(n+1) + O(3^n)) * (9^n + O(3^n))/(2^n + O(2^n))$. Poi passi al limite e quindi tutti gli O grandi scompaiono nelle somme: $lim_(n->+infty) (2^(n+1) + O(2^n))/(9^(n+1) + O(3^n)) * (9^n + O(3^n))/(2^n + O(2^n)) = lim_(n->+infty) (2^(n+1))/9^(n+1) * 9^n/2^n$ e quindi prosegui come prima.
Se ti chiedi perchè sompaiano gli O grandi considera ad esempio $2^(n+1) + O(2^n)$: informalmente, al finito significa "$2^n$ più qualcosa che va ad infinito più lentamente di $2^n$". Perciò se passi all'infinito quel qualcosa "più lento" viene eclissato e scompare.
Ho provato a fare alcuni esercizi e sembra che mi riescono, grazie mille per l'aiuto.
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