Risoluzione di un integrale doppio con formule di riduzione
Buongiorno ragazzi,
Ho un problema nella risoluzione del seguente esercizio:
[bgcolor=#E3F9E0]Calcolare, usando le formule di riduzione, l’integrale $\int\int_{E} 2xe^{-x^2+y^2}\ dxdy$ dove $E$ è la porzione del primo quadrante delimitata dalla circonferenza di centro $(0,0)$ e raggio $2$.[/bgcolor]
Non riesco a risolvere l'integrale utilizzando le formule di riduzione in due integrali semplici (poiché gli integrali che ne risultano sono irresolubili con i metodi classici..), né con le coordinate cartesiane né in forma polare. Sono riuscito a risolverlo utilizzando le formule di Gauss-Green, tuttavia l'esercizio richiede lo svolgimento tramite le formule di riduzione.
Avete suggerimenti? Grazie in anticipo.
Ho un problema nella risoluzione del seguente esercizio:
[bgcolor=#E3F9E0]Calcolare, usando le formule di riduzione, l’integrale $\int\int_{E} 2xe^{-x^2+y^2}\ dxdy$ dove $E$ è la porzione del primo quadrante delimitata dalla circonferenza di centro $(0,0)$ e raggio $2$.[/bgcolor]
Non riesco a risolvere l'integrale utilizzando le formule di riduzione in due integrali semplici (poiché gli integrali che ne risultano sono irresolubili con i metodi classici..), né con le coordinate cartesiane né in forma polare. Sono riuscito a risolverlo utilizzando le formule di Gauss-Green, tuttavia l'esercizio richiede lo svolgimento tramite le formule di riduzione.
Avete suggerimenti? Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao! È scritto correttamente l'integrale? Perché credo che all'esponente debba esserci $-(x^2+y^2)$ e non $-x^2+y^2$.
.
"Mephlip":
Ciao! È scritto correttamente l'integrale? Perché credo che all'esponente debba esserci $-(x^2+y^2)$ e non $-x^2+y^2$.
Sì...purtroppo è scritta correttamente l'integranda. A questo punto credo che si tratti di un errore del testo
Sì, credo anche io. Anche perché, come correttamente osservato da sellacollesella, anche scritta così non sarebbe fattibile.
"sellacollesella":
[quote="Fermat3423"]Non riesco a risolvere l'integrale utilizzando le formule di riduzione in due integrali semplici (poiché gli integrali che ne risultano sono irresolubili con i metodi classici..)
Concordo.
"Fermat3423":
Sono riuscito a risolverlo utilizzando le formule di Gauss-Green.
Sarebbe interessante vedere i passaggi.
"Fermat3423":
Avete suggerimenti?
Probabilmente l'integranda è stata scritta male.
"Mephlip":
credo che all'esponente debba esserci $-(x^2+y^2)$
Anch'io di primo acchito ho pensato a questo, ma anche in tal modo si rimane impantanati.
[/quote]Grazie
.
"sellacollesella":
[quote="Fermat3423"]Grazie
Prego!
Io però rimango con la curiosità sui passaggi con Gauss-Green ...
[/quote]Scusami, se non ti ho risposto ma quest'oggi sono stato molto impegnato. Domani, appena ho un po' di tempo libero, cerco di postarti la risoluzione.
Ciao Fermat3423,
In verità l'integrale proposto mi pare molto difficile (mi auguro non facesse parte di una prova scritta di qualsivoglia esame universitario...
), ma non impossibile.
Infatti si ha:
$\int\int_{E} 2xe^{-x^2+y^2}\text{d}x\text{d}y = \int_0^2 2x e^{-x^2}[\int_0^{\sqrt{4 - x^2}} e^{y^2} \text{d}y] \text{d}x = \int_0^2 2x e^{-x^2}[\sqrt{\pi}/2 \text{erfi}(\sqrt{4 - x^2})] \text{d}x =$
$ = \sqrt{\pi} \int_0^2 x e^{-x^2} \text{erfi}(\sqrt{4 - x^2}) \text{d}x $
Considerando il corrispondente integrale indefinito ed integrando per parti avendo ben cura di derivare la funzione $ \text{erfi} $ ed integrare $x e^{- x^2} $, si ha:
$ \sqrt{\pi} \int x e^{-x^2} \text{erfi}(\sqrt{4 - x^2}) \text{d}x = - e^{- x^2} \sqrt{\pi}/2 \text{erfi}(\sqrt{4 - x^2}) + \sqrt{\pi} \int e^{- x^2}/2 (- 2x e^{4 - x^2})/(\sqrt{\pi}\sqrt{4 - x^2}) \text{d}x = $
$ = - e^{- x^2} \sqrt{\pi}/2 \text{erfi}(\sqrt{4 - x^2}) - e^4 \int (x e^{ - 2 x^2})/(\sqrt{4 - x^2}) \text{d}x $
L'ultimo integrale si può risolvere per sostituzione ponendo $t := \sqrt{4 - x^2} $ e risulta
$ e^4 \int (x e^{ - 2 x^2})/(\sqrt{4 - x^2}) \text{d}x = - 1/(2 e^4) \sqrt{\pi/2}\text{erfi}(\sqrt{8 - 2x^2}) + c $
Quindi per l'integrale indefinito si ha:
$ \sqrt{\pi} \int x e^{-x^2} \text{erfi}(\sqrt{4 - x^2}) \text{d}x = 1/(2 e^4) \sqrt{\pi/2}\text{erfi}(\sqrt{8 - 2x^2}) - e^{- x^2} \sqrt{\pi}/2 \text{erfi}(\sqrt{4 - x^2}) + c = $
$ = \sqrt{\pi}/4 [\sqrt2/e^4 \text{erfi}(\sqrt{8 - 2x^2}) - 2e^{- x^2}\text{erfi}(\sqrt{4 - x^2})] + c $
Pertanto in definitiva si ha:
$ \sqrt{\pi} \int_0^2 x e^{-x^2} \text{erfi}(\sqrt{4 - x^2}) \text{d}x = \sqrt{\pi}/4 [2\text{erfi}(2) - \sqrt2/e^4 \text{erfi}(2\sqrt{2}) ] ~~ 9,07106 $
In verità l'integrale proposto mi pare molto difficile (mi auguro non facesse parte di una prova scritta di qualsivoglia esame universitario...
), ma non impossibile.Infatti si ha:
$\int\int_{E} 2xe^{-x^2+y^2}\text{d}x\text{d}y = \int_0^2 2x e^{-x^2}[\int_0^{\sqrt{4 - x^2}} e^{y^2} \text{d}y] \text{d}x = \int_0^2 2x e^{-x^2}[\sqrt{\pi}/2 \text{erfi}(\sqrt{4 - x^2})] \text{d}x =$
$ = \sqrt{\pi} \int_0^2 x e^{-x^2} \text{erfi}(\sqrt{4 - x^2}) \text{d}x $
Considerando il corrispondente integrale indefinito ed integrando per parti avendo ben cura di derivare la funzione $ \text{erfi} $ ed integrare $x e^{- x^2} $, si ha:
$ \sqrt{\pi} \int x e^{-x^2} \text{erfi}(\sqrt{4 - x^2}) \text{d}x = - e^{- x^2} \sqrt{\pi}/2 \text{erfi}(\sqrt{4 - x^2}) + \sqrt{\pi} \int e^{- x^2}/2 (- 2x e^{4 - x^2})/(\sqrt{\pi}\sqrt{4 - x^2}) \text{d}x = $
$ = - e^{- x^2} \sqrt{\pi}/2 \text{erfi}(\sqrt{4 - x^2}) - e^4 \int (x e^{ - 2 x^2})/(\sqrt{4 - x^2}) \text{d}x $
L'ultimo integrale si può risolvere per sostituzione ponendo $t := \sqrt{4 - x^2} $ e risulta
$ e^4 \int (x e^{ - 2 x^2})/(\sqrt{4 - x^2}) \text{d}x = - 1/(2 e^4) \sqrt{\pi/2}\text{erfi}(\sqrt{8 - 2x^2}) + c $
Quindi per l'integrale indefinito si ha:
$ \sqrt{\pi} \int x e^{-x^2} \text{erfi}(\sqrt{4 - x^2}) \text{d}x = 1/(2 e^4) \sqrt{\pi/2}\text{erfi}(\sqrt{8 - 2x^2}) - e^{- x^2} \sqrt{\pi}/2 \text{erfi}(\sqrt{4 - x^2}) + c = $
$ = \sqrt{\pi}/4 [\sqrt2/e^4 \text{erfi}(\sqrt{8 - 2x^2}) - 2e^{- x^2}\text{erfi}(\sqrt{4 - x^2})] + c $
Pertanto in definitiva si ha:
$ \sqrt{\pi} \int_0^2 x e^{-x^2} \text{erfi}(\sqrt{4 - x^2}) \text{d}x = \sqrt{\pi}/4 [2\text{erfi}(2) - \sqrt2/e^4 \text{erfi}(2\sqrt{2}) ] ~~ 9,07106 $
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