Risoluzione di un integrale
Ciao! Sto risolvendo un integrale doppio,
$\int int ln(1+x^2+y^2)xy dxdy$
su una superficie:
B= {(x,y): 1$<=$ x^2+y^2$<=$ 4 , 0$<=$ y$<=$ $sqrt(3)$ x}
l'ho risolto usando le coordinate polari, quindi sostituendo:
x= r cos$\theta$
y= r sen$\theta$
ottenendo (dalla figura di B e da alcuni calcoli)
1$<=$r$<=$2
0$<=$ $\theta$ $<=$$\pi$/3
quindi impostando l'integrale come segue:
$\int_{1}^{2} ln (1+ r^2) r^2 (dr^2)/2$ $\int_{0}^{pi /3}cos theta sen theta d$\theta$ $
ho pensato di risolvere il primo, quello in dr, per sostituzione, t=r^2, 2-> 4 e 1->1
e considerandolo singolarmente diventerebbe:
$\int_{1}^{a} ln (1+ t)t (dt)/2$
e risolvendo a sua volta quest'ultimo per parti:
impostando:
f(x)=ln(1+t) f'(x)= 1/(1+t)
g'(x)= t g(x)= (t^2)/2
ottenendo:
(1/2)[(ln(1+t))(t^2/2)]_{1}^{4} - $\int_{1}^{4} (t^2)/((1+t)) dt$
a questo punto non so come risolvere l'ultimo integrale...
e non saprei nemmeno come affrontare la questione del secondo integrale con sen e il cos...
potreste aiutarmi?
Grazie infinite in anticipo!
$\int int ln(1+x^2+y^2)xy dxdy$
su una superficie:
B= {(x,y): 1$<=$ x^2+y^2$<=$ 4 , 0$<=$ y$<=$ $sqrt(3)$ x}
l'ho risolto usando le coordinate polari, quindi sostituendo:
x= r cos$\theta$
y= r sen$\theta$
ottenendo (dalla figura di B e da alcuni calcoli)
1$<=$r$<=$2
0$<=$ $\theta$ $<=$$\pi$/3
quindi impostando l'integrale come segue:
$\int_{1}^{2} ln (1+ r^2) r^2 (dr^2)/2$ $\int_{0}^{pi /3}cos theta sen theta d$\theta$ $
ho pensato di risolvere il primo, quello in dr, per sostituzione, t=r^2, 2-> 4 e 1->1
e considerandolo singolarmente diventerebbe:
$\int_{1}^{a} ln (1+ t)t (dt)/2$
e risolvendo a sua volta quest'ultimo per parti:
impostando:
f(x)=ln(1+t) f'(x)= 1/(1+t)
g'(x)= t g(x)= (t^2)/2
ottenendo:
(1/2)[(ln(1+t))(t^2/2)]_{1}^{4} - $\int_{1}^{4} (t^2)/((1+t)) dt$
a questo punto non so come risolvere l'ultimo integrale...
e non saprei nemmeno come affrontare la questione del secondo integrale con sen e il cos...
potreste aiutarmi?
Grazie infinite in anticipo!
Risposte
Con la parte del sen e del cos ho risolto...ho pensato di moltiplicare l'integrale per 1/2 e dentro moltiplicare sen e cos per 2 in modo poi da poterla scrivere come formula sen(2teta) così integro quella e ho risolto...però mi resta l'altro problema...
Grazie mille a chiunque mi aiuterà!
Grazie mille a chiunque mi aiuterà!
Riguardo a quello in $sin\thetacos\theta$ puoi considerare le formule di duplicazione:
$2sin\thetacos\theta = sin(2\theta)$
Per l' altro puoi sommare e sottrarre 1, $\int (t^2 + 1 - 1)/(1 + t) = \int (t^2 - 1)/(1 + t)dt + \int 1/(1 + t)dt$
$2sin\thetacos\theta = sin(2\theta)$
Per l' altro puoi sommare e sottrarre 1, $\int (t^2 + 1 - 1)/(1 + t) = \int (t^2 - 1)/(1 + t)dt + \int 1/(1 + t)dt$
Grazie per la risposta...ti posso chiedere però poi dal punto in cui sei arrivato tu come posso andare avanti?
mi spiego meglio, la seconda parte, quella con 1/(t+1) è la derivata di un ln e ho capito...ma la parte prima non saprei come elaborarla....
Grazie ancora!!
mi spiego meglio, la seconda parte, quella con 1/(t+1) è la derivata di un ln e ho capito...ma la parte prima non saprei come elaborarla....
Grazie ancora!!
"giulietta_6":
Grazie per la risposta...ti posso chiedere però poi dal punto in cui sei arrivato tu come posso andare avanti?
mi spiego meglio, la seconda parte, quella con 1/(t+1) è la derivata di un ln e ho capito...ma la parte prima non saprei come elaborarla....
Grazie ancora!!
Allora, $t^2 - 1 = (t - 1)(t + 1)$, quindi semplifichi con il denominatore e ti rimane $(t - 1)$
Una domanda, ma come mai scrivi una parte delle formula con mathml e una parte no ?:)
Ah per quanto riguarda la formula non ci ho fatto caso!
Comunque ho di sicuro fatto la figura della tonta ahaha non avevo pensato alla scomposizione....! Grazie mille...
Comunque ho di sicuro fatto la figura della tonta ahaha non avevo pensato alla scomposizione....! Grazie mille...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo