Risoluzione di un integrale

[Anto95_math]

Buonasera a tutti!

Sto provando a risolvere il seguente integrale indefinito: $\int \frac{dx}{\sin^2x+3\cos^2x}$

Ho pensato di sommare e sottrarre $2\cos^2x$ al denominatore, in questo modo posso semplificare: $\int \frac{dx}{1+2\cos^2x}$

Come continuo?

Grazie in anticipo.

[iFra96]

Ciao! Io ti consiglierei di provare a sostituire $ tan(x) = t $ ed esprimere il coseno in funzione di t con le formule parametriche.

[Anto95_math]

Grazie!

Ho visto che un mio collega ha fatto questo passaggio intermedio: $\int \frac{dx}{2+cos(2x)}$
Come ha trasformato l'espressione?

Dopodiché, come hai suggerito tu, potrei sostituire $\tanx=t$

[iFra96]

Sapendo che $ cos(2x) = 2(cosx)^2 -1 $ si ricava che $ 2(cosx)^2 = 1 + cos(2x) $ e sostituendo nel denominatore di prima si ottiene $ 1 +1 +cos(2x) $
Se vuoi fare questo passaggio tuttavia la nuova sostituzione dovrebbe essere $ t = tan(x/2) $

[Anto95_math]

Ok, quindi...

$\int \frac{dx}{1+\cos^2x} =$

= $\int \frac{dx}{1+\frac{1}{1+t^2}}$, con $\tanx = t$?

Ho l'impressione di aver usato la formula errata... $\cos^2x = \frac{1}{1+\tan^2x}$

[cooper1]

hai dimenticato di fare la sostituzione del $dx$.

[Anto95_math]

Giusto grazie!

= $\int \frac{dt}{1+\frac{1}{1+t^2}}$ =

= $\int \frac{1+t^2}{2+t^2}dt$

Ma adesso?

[Shocker1]

E' immediato:
$ \int \frac{1+t^2}{2+t^2}dt = \int \frac{+1 - 1 +1+t^2}{2+t^2}dt = \int dt + \int \frac{-1}{2+t^2}dt = \int dt - \int \frac{1}{2(1+(t^2)/2)}dt = \int dt - sqrt(2)/2\int \frac{1/sqrt(2)}{1+(t/sqrt(2))^2}dt = ... $

[cooper1]

"Anto95_math":
= $ \int \frac{1+t^2}{2+t^2}dt $

è sbagliato. la sostituzione per il differenziale è $ dx=dt/(1+t^2) $ per cui l'integrale diventa $ int (1+t^2)/(2+t^2)dt/(1+t^2)=intdt/(2+t^2) $
a questo punto procedi come illustrato da Shocker qui
$ sqrt(2)/2\int \frac{1/sqrt(2)}{1+(t/sqrt(2))^2}dt = ... $