Risoluzione di limiti
Salve a tutti e buon anno. Come da titolo ho qualche difficoltà con questi limiti.
1) $ lim_(x ->(Pi /3) ) (cos(X)- cos(Pi /3))/ (sin x-sin (Pi /3)) $
Per questo limite ho provato ad usare la posizione $ x-Pi /3=y $ e ad usare le formule di addizione ma non sono riuscito ad arrivare al risultato che é $ -sqrt(3) $ .
2) $ lim_(x ->∞) ((1+1/x)^x - e)/log(x/(x+1)) $
Per questo limite ho provato ad utilizzare il limite notevole di Nepero ma neanche in questo caso sono riuscito a giungere al risultato di $ e/2 $ . In entrambi i casi non viene previsto (dal docente) l'uso del teorema di de l'Hopital.
Vi ringrazio anticipatamente e vi auguro una buona serata.
1) $ lim_(x ->(Pi /3) ) (cos(X)- cos(Pi /3))/ (sin x-sin (Pi /3)) $
Per questo limite ho provato ad usare la posizione $ x-Pi /3=y $ e ad usare le formule di addizione ma non sono riuscito ad arrivare al risultato che é $ -sqrt(3) $ .
2) $ lim_(x ->∞) ((1+1/x)^x - e)/log(x/(x+1)) $
Per questo limite ho provato ad utilizzare il limite notevole di Nepero ma neanche in questo caso sono riuscito a giungere al risultato di $ e/2 $ . In entrambi i casi non viene previsto (dal docente) l'uso del teorema di de l'Hopital.
Vi ringrazio anticipatamente e vi auguro una buona serata.
Risposte
Se ti è vietato usare Hopital puoi usare gli sviluppi di Taylor. Devi sviluppare $sin x$ e $cos x$ intorno a $\pi/3$.
Avrai che $cos x= cos(\pi/3)-sin(\pi/3)(x-\pi/3)+o(x-\pi/3)$ per $x->\pi/3$ e
$sin x=sin(\pi/3)+cos(\pi/3)(x-\pi/3)+o(x-\pi/3)$ per $x->\pi/3$
Se ora sostituisci riesci a concludere?
Avrai che $cos x= cos(\pi/3)-sin(\pi/3)(x-\pi/3)+o(x-\pi/3)$ per $x->\pi/3$ e
$sin x=sin(\pi/3)+cos(\pi/3)(x-\pi/3)+o(x-\pi/3)$ per $x->\pi/3$
Se ora sostituisci riesci a concludere?
Ciao Aelle1994,
Per il primo limite osserverei che si ha:
$\lim_{x \to \pi/3} (cos(x)- cos(pi/3))/(sin(x) - sin(pi/3)) = \lim_{x \to \pi/3} (cos(x)- cos(pi/3))/(x - pi/3) \cdot 1/((sin(x) - sin(pi/3))/(x - \pi/3)) = $
$ = ("d"/("d"x) cos(x)|_{x = pi/3})/("d"/("d"x) sin(x)|_{x = pi/3}) = (- sqrt3/2)/(1/2) = - sqrt3 $
Per il secondo limite farei uso della disuguaglianza $ 0 < e/(2x + 2) < e - (1 + 1/x)^x < e/(2x + 1) $
potresti dare un'occhiata ad esempio qui.
Per il primo limite osserverei che si ha:
$\lim_{x \to \pi/3} (cos(x)- cos(pi/3))/(sin(x) - sin(pi/3)) = \lim_{x \to \pi/3} (cos(x)- cos(pi/3))/(x - pi/3) \cdot 1/((sin(x) - sin(pi/3))/(x - \pi/3)) = $
$ = ("d"/("d"x) cos(x)|_{x = pi/3})/("d"/("d"x) sin(x)|_{x = pi/3}) = (- sqrt3/2)/(1/2) = - sqrt3 $
Per il secondo limite farei uso della disuguaglianza $ 0 < e/(2x + 2) < e - (1 + 1/x)^x < e/(2x + 1) $
potresti dare un'occhiata ad esempio qui.
Salve ragazzi, in primis vi ringrazio per le risposte; Per quanto riguarda la risoluzione dei limiti é previsto il solo uso dei limiti notevoli. Pilloeffe cosa ne pensi di usare la posizione $ x-Pi /3=y $ che tende a 0 per poi cercare di applicare i limiti notevoli?. Per il secondo limite non ho idea di come procedere utilizzando i soli limiti notevoli.
"Aelle1994":
Pilloeffe cosa ne pensi di usare la posizione $x− \pi/3 = y $ che tende a 0 per poi cercare di applicare i limiti notevoli?
Ne penso bene, anche se il mio metodo è più veloce...
Prova a postare i calcoli.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo