Risoluzione di limiti
Ragazzi, sapreste risolvere i seguenti limiti?
$lim x->oo ln(2x^2+4)/ln(x^3-1)$
e $lim x->oo ((x^2+2x+3)/(x^2-x+1))^(x+3)$
infine $lim x->1 x^(1/(1+x))$
Ci provo e ci riprovo ma non mi escono
$lim x->oo ln(2x^2+4)/ln(x^3-1)$
e $lim x->oo ((x^2+2x+3)/(x^2-x+1))^(x+3)$
infine $lim x->1 x^(1/(1+x))$
Ci provo e ci riprovo ma non mi escono
Risposte
$lim_(x->infty)log(x^2(2+4/x^2))/log(x^3(1-1/x^3))$ $=lim(2log(2x))/(3logx) $ $=lim (2logx+2log2)/(3logx) $ $=lim (2logx)/(3logx)=2/3$
Nel secondo devi riportati ad una forma notevole del tipo $(1+f(x))^(1/f(x))$, e lo puoi attuare aggiungendo e sottraendo la
quantità $-3x-2$ a numeratore;
Per quanto riguarda il terzo limite ci deve essere un errore di trascrizione , probabilmente e' $lim_(x->1)x^(1/(1-x))$, in questo caso si aggiunge e sottrae $1$ alla base ottenendo la forma $lim_(x->1)(1+(x-1))^(-1/(x-1))=-1/e $
Nel secondo devi riportati ad una forma notevole del tipo $(1+f(x))^(1/f(x))$, e lo puoi attuare aggiungendo e sottraendo la
quantità $-3x-2$ a numeratore;
Per quanto riguarda il terzo limite ci deve essere un errore di trascrizione , probabilmente e' $lim_(x->1)x^(1/(1-x))$, in questo caso si aggiunge e sottrae $1$ alla base ottenendo la forma $lim_(x->1)(1+(x-1))^(-1/(x-1))=-1/e $
al secondo effettua una volta scritto nella forma e^ gx*logfx ottieni (x+3)log((x^2+2x+3)/x^2-x+1)), (x^2+2x+3)/x^2-x+1) per oo tende a 1 log1 tende a 0 quindi log((x^2+2x+3)/x^2-x+1))$=$ (x^2+2x+3)/(x^2-x+1) -1 = (x+3)(3x-2)/(x^2-x+1)=(3x^2+7x-6)/(x^2-x+1) per oo tende a 3 quindi il limite è e^3.....
Per il secondo limite si ha:
$((x^2+2x+3)+(-3x-2)-(-3x-2))/(x^2-x+1) $ $= ((x^2-x+1)/(x^2-x+1)+(3x+2)/(x^2-x+1))$ $= (1+(3x+2)/(x^2-x+1))$;
Notando che $(3x+2)/(x^2-x+1)~(3x)/x^2~3/x$,
possiamo sostituire ed il nostro limite diventa:
$lim_(x->infty)(1+3/x)^(x+3)$ $=lim_(x->infty)(1+3/x)^x×lim_(x->infty)(1+3/x)^3$ $=lim_(x->infty)(1+3/x)^x×1$ $=lim_(x->infty )(1+3/x)^x$ $=lim_(x->infty)(1+3/x)^(3×x/3) $ $=lim_(x->infty)((1+3/x)^(x/3))^3$ $=e^3$,
avendo osservato naturalmente il noto limite notevole $lim_(x->infty)(1+3/x)^(x/3)=e $.
x@taurus
Naturalmente e' corretto anche il tuo procedimento, solo che dovresti scriverlo in modo piu' chiaro, usando le formule, basta frapporle con il segno del dollaro.
In tal caso si mette il limite nella forma $lim_(x->infty)e^(log(1+3/x)^(x+3)) $ $=lim_(x->infty)e^((x+3)log(1+3/x))$,
ma $log(1+3/x)~3/x$, e sostituendo otteniamo:
$lim_(x->infty)e^((x+3)(3/x))$, a questo punto basta risolvere il limite ad esponente,
$lim_(x->infty)(x+3)(3/x) $ $=lim_(x->infty)(3+9/x)=3$;
Sostituendo ad esponente avremo il valore del nostro limite cioe' $e^3$.
$((x^2+2x+3)+(-3x-2)-(-3x-2))/(x^2-x+1) $ $= ((x^2-x+1)/(x^2-x+1)+(3x+2)/(x^2-x+1))$ $= (1+(3x+2)/(x^2-x+1))$;
Notando che $(3x+2)/(x^2-x+1)~(3x)/x^2~3/x$,
possiamo sostituire ed il nostro limite diventa:
$lim_(x->infty)(1+3/x)^(x+3)$ $=lim_(x->infty)(1+3/x)^x×lim_(x->infty)(1+3/x)^3$ $=lim_(x->infty)(1+3/x)^x×1$ $=lim_(x->infty )(1+3/x)^x$ $=lim_(x->infty)(1+3/x)^(3×x/3) $ $=lim_(x->infty)((1+3/x)^(x/3))^3$ $=e^3$,
avendo osservato naturalmente il noto limite notevole $lim_(x->infty)(1+3/x)^(x/3)=e $.
x@taurus
Naturalmente e' corretto anche il tuo procedimento, solo che dovresti scriverlo in modo piu' chiaro, usando le formule, basta frapporle con il segno del dollaro.
In tal caso si mette il limite nella forma $lim_(x->infty)e^(log(1+3/x)^(x+3)) $ $=lim_(x->infty)e^((x+3)log(1+3/x))$,
ma $log(1+3/x)~3/x$, e sostituendo otteniamo:
$lim_(x->infty)e^((x+3)(3/x))$, a questo punto basta risolvere il limite ad esponente,
$lim_(x->infty)(x+3)(3/x) $ $=lim_(x->infty)(3+9/x)=3$;
Sostituendo ad esponente avremo il valore del nostro limite cioe' $e^3$.
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