Risoluzione di limite senza l'uso delle derivate

[sh4rk]

Ciao a tutti,
vorrei proporvi un limite, mi piacerebbe sapere se secondo voi può essere possibile risolverlo senza Taylor o De L'hopital.

Il limite in questione è il seguente:

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^4sin^2(\pi-2atan(x))}{3+x^2} \)

Anche togliendo il seno di mezzo o effettuando la sostituzione y=atan(x), non riesco a ricondurlo a nessun limite notevole.

Mi domandavo se fosse possibile risolverlo senza Taylor o De L'hopital.

Grazie

[pilloeffe]

Ciao sh4rk89,

"sh4rk89":mi piacerebbe sapere se secondo voi può essere possibile risolverlo senza Taylor o De L'hopital.

Sì. Infatti, ricordando le relazioni $sin(arctan(x)) = frac{x}{sqrt{1 + x^2}} $ e $cos(arctan(x)) = frac{1}{sqrt{1 + x^2}} $ si ha:

$lim_{x \to +\infty} frac{x^4 sin^2(\pi-2arctan(x))}{3+x^2} = lim_{x \to +\infty} frac{x^4 sin^2(2arctan(x))}{3+x^2} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{x^4 [2 sin(arctan(x))cos(arctan(x))]^2}{x^2 + 3} = lim_{x \to +\infty} frac{x^4 [frac{2x}{x^2 + 1}]^2}{x^2 + 3} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{x^4 [frac{4x^2}{x^4 + 2x^2 + 1}]}{x^2 + 3} = lim_{x \to +\infty} frac{frac{4x^4}{x^4 + 2x^2 + 1}}{1 + frac{3}{x^2}} = 4 $

[sh4rk]

Grazie, non ci avevo pensato!